Curvatura media di una corona circolare
Salve a tutti,
ho un problema: non riesco a capire come si dimostra che una corona circolare sia una superficie a curvatura media nulla. E' giusto ipotizzare che ciò sia dovuto al fatto che le sezioni normali a questa superficie mi forniscono sempre due segmenti, per cui il raggio del cerchio osculatore è tendente a infinito e le curvature principali sono entrambe nulle?
Grazie
ho un problema: non riesco a capire come si dimostra che una corona circolare sia una superficie a curvatura media nulla. E' giusto ipotizzare che ciò sia dovuto al fatto che le sezioni normali a questa superficie mi forniscono sempre due segmenti, per cui il raggio del cerchio osculatore è tendente a infinito e le curvature principali sono entrambe nulle?
Grazie
Risposte
La stanza di geometria mi sembra più appropriata, sposto.
La curvatura della corona circolare sarà la medesima di una circonferenza.
Detta $\hatx(t)$ la rappresentazione parametrica della curva $C$, denotiamo con $t$ il versore tangente a $C$.
Essendo $t=x'/||x'||$, nell'intervallo $[-\pi/2;\pi/2]$, il versore tangente sarà orientato in un certo verso, mentre nell'intervallo $[\pi/2;-\pi/2]$, si avrà lo stesso versore, ma opposto.
Essendo la curvatura di flessione della curva $c=||t'||/||x'||$, segue che in $[-\pi/2;\pi/2]$ si avrà un certo valore $c$, mentre in $[\pi/2;-\pi/2]$ si avrà il valore opposto $-c$, seguendo il verso del versore tangente.
Di conseguenza, la media è $0$.
Detta $\hatx(t)$ la rappresentazione parametrica della curva $C$, denotiamo con $t$ il versore tangente a $C$.
Essendo $t=x'/||x'||$, nell'intervallo $[-\pi/2;\pi/2]$, il versore tangente sarà orientato in un certo verso, mentre nell'intervallo $[\pi/2;-\pi/2]$, si avrà lo stesso versore, ma opposto.
Essendo la curvatura di flessione della curva $c=||t'||/||x'||$, segue che in $[-\pi/2;\pi/2]$ si avrà un certo valore $c$, mentre in $[\pi/2;-\pi/2]$ si avrà il valore opposto $-c$, seguendo il verso del versore tangente.
Di conseguenza, la media è $0$.
Ti ringrazio.
@demostene: credo che qui si parli di curvatura media in termini di geometria differenziale, i.e. la media degli autovalori dell'operatore forma, non di media della curvatura 
@annuk: se ho ben interpretato la tua domanda, l'hint giusto per la risposta potrebbe essere la frase «suvvia, è pur sempre un pezzo di piano!»
@annuk: se ho ben interpretato la tua domanda, l'hint giusto per la risposta potrebbe essere la frase «suvvia, è pur sempre un pezzo di piano!»
esatto, è proprio quello che intendevo dire! 
grazie mille
grazie mille
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