Curvatura intrinseca
Salve !
Spero che i forumisti possano darmi qualche indicazione.
Un argomento che mi ha sempre "incuriosito" è la curvatura delle superfici. In particolare, il fatto che la curvatura di una superficie è misurabile senza lasciare dalla superficie (osservazione dovuta a Gauss, credo).
Cioè determinare la curvatura di una superficie in uno spazio 3D è cosa relativamente ovvia, ma giungere alla conclusione che una superficie è curva rimanendo sulla superficie è invece una cosa meno banale.
Un metodo che si può usare è quello di tracciare una circonferenza di raggio x e misurarla. Per superfici sferiche $C<2\pix$, altrimenti sono su una superficie iperbolica, tranne che $C=2\pix$ come nella geometria euclidea.
La mia curiosità è questa: come si procede operativamente, avendo una superficie (definita come ?) per misurare la circonferenza senza lasciare la superficie ?
Qual è il procedimento con cui si misura una distanza su una superficie ?
Se non posso lasciare la superficie, non ho a disposizione la coordinata "z", dunque di cosa mi servo per questa misura matematica ?
Nella realtà, se volessi vedere se lo spazio è curvo prenderei una sfera, e dovrei fare il rapporto tra l'area e il raggio. Oppure, con strumenti sofisticati posso misurare la curvatura della terra, facendo misure "reali" di triangolazione.
Ovviamente accetto volentieri link e link a PDF, purchè a un livello di comprensione "medio", che richieda strumenti si analisi I, ad esempio. Thanks !
Spero che i forumisti possano darmi qualche indicazione.
Un argomento che mi ha sempre "incuriosito" è la curvatura delle superfici. In particolare, il fatto che la curvatura di una superficie è misurabile senza lasciare dalla superficie (osservazione dovuta a Gauss, credo).
Cioè determinare la curvatura di una superficie in uno spazio 3D è cosa relativamente ovvia, ma giungere alla conclusione che una superficie è curva rimanendo sulla superficie è invece una cosa meno banale.
Un metodo che si può usare è quello di tracciare una circonferenza di raggio x e misurarla. Per superfici sferiche $C<2\pix$, altrimenti sono su una superficie iperbolica, tranne che $C=2\pix$ come nella geometria euclidea.
La mia curiosità è questa: come si procede operativamente, avendo una superficie (definita come ?) per misurare la circonferenza senza lasciare la superficie ?
Qual è il procedimento con cui si misura una distanza su una superficie ?
Se non posso lasciare la superficie, non ho a disposizione la coordinata "z", dunque di cosa mi servo per questa misura matematica ?
Nella realtà, se volessi vedere se lo spazio è curvo prenderei una sfera, e dovrei fare il rapporto tra l'area e il raggio. Oppure, con strumenti sofisticati posso misurare la curvatura della terra, facendo misure "reali" di triangolazione.
Ovviamente accetto volentieri link e link a PDF, purchè a un livello di comprensione "medio", che richieda strumenti si analisi I, ad esempio. Thanks !
Risposte
Ciao, si fa tutto col tensore metrico...a livello di superficie cerca qualcosa riguardante le "formule di Weingarten"
..dovresti trovare qualcosa anche a questo link http://web.math.unifi.it/users/dini/davinc2.pdf
..dovresti trovare qualcosa anche a questo link http://web.math.unifi.it/users/dini/davinc2.pdf
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