Curvatura gaussiana e non

[Thomas16]

Salve,

mi stavo ponendo una domanda che spero mi chiarisca un attimo le idee. Data una connessione su un vector bundle noi possiamo definire la due forma di curvatura come qui:

http://en.wikipedia.org/wiki/Chern_class

mi chiedevo se la curvatura gaussiana di una superficie (quella definita prendento l'inverso del prodotto dei raggi di curvatura) ha qualche relazione con quella due forma.

[miuemia]

non bisogna fare confusione in quanto di connessioni su un fibrato ve ne sono infinite. Poi data una metrica Riemanniana (o Hermitiana nel caso complesso) esiste una unica connessione che è piatta per tale metrica ed è priva di torsione. E adesso per questa metrica si può definire la curvatura che nel caso in cui immagini la tua superficie immersa in $RR^3$ allora implicitamente stai dotando il fibrato tangente della metrica Riemanniana classica e quindi la connessione associata è quella chiamata di LEvi-Civita e per tale connessione la curvatura coincide proprio con la curvatura di Gauss.

[Thomas16]

ottimo grazie mille per la risposta sei stato molto chiaro!

Sai mica una dimostrazione di quel che ottieni ovvero che dalla curvatura associata alla connessione di Levi Civita si ottiene quella di Gauss?? Forse sapendo la teoria meglio di me segue dalle definizioni? Oppure sono una serie di contazzi da cui non si capisce perchè diano il risultato che devono dare?

[miuemia]

segue dalla definizione di connessione di levi-civita

[Thomas16]

capito... va bè ora le mie conoscenze non mi permettono di vedere il collegamento facilmente... grazie cmq!

[dissonance]

Prova a dare un'occhiata al libricino di Klingenberg A course in Differential Geometry. La cosa è spiegata sicuramente perché lui parte dalla geometria differenziale classica di curve e superfici e poi introduce le definizioni generali della geometria Riemanniana rifacendosi a quanto già visto.

[Thomas16]

Ottimo grazie mille dissonance!