Curvatura ed hessiana
Ciao, amici!
Ogni formula e calcolo qui riportato è del mio libro, tranne quando detto esplicitamente che si tratta del mio pensiero e segnato in rosso. Data una curva di parametrizzazione regolare di classe $C^2$
\[ \vec r(t)=(x_0+ht,y_0+kt,f(x_0+ht,y_0+kt)) \]
di derivate prima e seconda quindi $\vec r'(t)=(h,k,\nabla f(x_0+ht,y_0+kt)* \vec v)$ e \( \vec r''(t)=(0,0,H_f (x_0,y_0)\vec v · \vec v) \) rispettivamente, imponendo che il vettore (di cui $\vec v$ è la proiezione sul piano $z=0$) parallelo al piano tangente in $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ di componenti \( (h,k,f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k) \), sia un versore (e quindi \( h^2+k^2+(f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k)^2 =1 \) ) il mio libro, dato che \( \vec r'(0) ×\vec r''(0) = (H_{f} (x_0,y_0)\vec v · \vec v)(k,-h,0) \), calcola la curvatura sezionale nella direzione di $\vec v$ in $t=0$ come
\[\kappa (0)= H_{f}(x_0,y_0)\vec v ·\vec v\]
mentre io, conoscendo la formula $|k(t)|= \frac{||\vec r'(t) × \vec r''(t)||}{||\vec r'(t)||^3}$ e ricordando l'unitarietà del versore di cui sopra, avrei calcolato $|k(0)|=sqrt((hH_{f} (x_0,y_0)\vec v · \vec v)^2+(kH_{f} (x_0,y_0)\vec v · \vec v)^2)=|H_{f}(x_0,y_0)\vec v ·\vec v|\sqrt(h^2+k^2)$... Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire che fine ha fatto nell'espressione del libro $\sqrt(h^2+k^2)$ (che non è 1 perché $(h,k)$ non è necessariamente un versore)?
Grazie di cuore a tutti!!!
Ogni formula e calcolo qui riportato è del mio libro, tranne quando detto esplicitamente che si tratta del mio pensiero e segnato in rosso. Data una curva di parametrizzazione regolare di classe $C^2$
\[ \vec r(t)=(x_0+ht,y_0+kt,f(x_0+ht,y_0+kt)) \]
di derivate prima e seconda quindi $\vec r'(t)=(h,k,\nabla f(x_0+ht,y_0+kt)* \vec v)$ e \( \vec r''(t)=(0,0,H_f (x_0,y_0)\vec v · \vec v) \) rispettivamente, imponendo che il vettore (di cui $\vec v$ è la proiezione sul piano $z=0$) parallelo al piano tangente in $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ di componenti \( (h,k,f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k) \), sia un versore (e quindi \( h^2+k^2+(f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k)^2 =1 \) ) il mio libro, dato che \( \vec r'(0) ×\vec r''(0) = (H_{f} (x_0,y_0)\vec v · \vec v)(k,-h,0) \), calcola la curvatura sezionale nella direzione di $\vec v$ in $t=0$ come
\[\kappa (0)= H_{f}(x_0,y_0)\vec v ·\vec v\]
mentre io, conoscendo la formula $|k(t)|= \frac{||\vec r'(t) × \vec r''(t)||}{||\vec r'(t)||^3}$ e ricordando l'unitarietà del versore di cui sopra, avrei calcolato $|k(0)|=sqrt((hH_{f} (x_0,y_0)\vec v · \vec v)^2+(kH_{f} (x_0,y_0)\vec v · \vec v)^2)=|H_{f}(x_0,y_0)\vec v ·\vec v|\sqrt(h^2+k^2)$... Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire che fine ha fatto nell'espressione del libro $\sqrt(h^2+k^2)$ (che non è 1 perché $(h,k)$ non è necessariamente un versore)?
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Ferma restando la mia mancata comprensione del perché non si tenga conto di quella $sqrt(h^2+k^2)$ (da me calcolata) nell'espressione della curvatura (si tratta di una definizione alternativa a quella che conoscevo io di $|\kappa(t)|= \frac{||\vec r'(t) × \vec r''(t)||}{||\vec r'(t)||^3}$?), procedendo con \( \kappa(0)=H_f (x_0,y_0)\vec v · \vec v \), che deve come detto sopra soddisfare il vincolo \( h^2+k^2+(f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k)^2 -1 =0 \), il mio libro conclude dicendo che le curvature principali, massima e minima, saranno quindi gli autovalori dell'equazione
\[ H_{f}(x_0,y_0)\vec v = \lambda( v+\nabla f(0)·\vec v \vec v) \]
Sic, con $v$ scritto così. Nella mia ignoranza tendente a $+oo$ risolverei il problema con i moltiplicatori lagrangiani, notando che $ \nabla \kappa(h,k)= 2H_{f}(x_0,y_0)\vec v$ e che, posto \( g(h,k)=h^2+k^2+(f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k)^2 -1=0 \), $\nabla g(h,k)=2(\vec v +(\nabla f(x_0,y_0)·\vec v)\nabla f(x_0,y_0))$ (sotto ho scritto per esteso la metà dei gradienti) e quindi a me risulterebbe da risolvere piuttosto il sistema $\nabla \kappa(h,k)=\lambda \nabla g(h,k)$ cioè, dividendo entrambi i membri per 2:
\[ H_{f} (x_0,y_0)\vec v=\lambda (\vec v +(\nabla f(x_0,y_0)·\vec v)\nabla f(x_0,y_0))\]
per esteso \[\left[
\begin{array}{c}
f_{xx}(x_0,y_0)h+f_{xy}(x_0,y_0)k \\
f_{xy}(x_0,y_0)h+f_{yy}(x_0,y_0)k
\end{array}
\right]=\lambda
\left[
\begin{array}{c}
h+f_x(x_0,y_0)(f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k) \\
k+f_y(x_0,y_0)(f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k)
\end{array}
\right]
\]
che, oltretutto, moltiplicando per $h$ e per $k$ rispettivamente le due componenti dei due gradienti, tenendo conto che \( h^2+k^2+(f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k)^2=1\), mi sembra che farebbe coincidere gli autovalori $\lambda$ proprio con il valore assunto da $H_{f} (x_0,y_0)\vec v · \vec v$ per i $\vec v=(h,k)$ che risolvono l'equazione e che, se il mio procedimento fosse giusto, ottimizzerebbero la funzione $\kappa(\vec v)$... Invece con l'espressione del libro mi vengono dei cubi di $h$ e $k$...
Che cosa ne pensate? Qualcuno potrebbe essere così buono da vernirmi in soccorso?
$+oo$ grazie a tutti!!!
\[ H_{f}(x_0,y_0)\vec v = \lambda( v+\nabla f(0)·\vec v \vec v) \]
Sic, con $v$ scritto così. Nella mia ignoranza tendente a $+oo$ risolverei il problema con i moltiplicatori lagrangiani, notando che $ \nabla \kappa(h,k)= 2H_{f}(x_0,y_0)\vec v$ e che, posto \( g(h,k)=h^2+k^2+(f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k)^2 -1=0 \), $\nabla g(h,k)=2(\vec v +(\nabla f(x_0,y_0)·\vec v)\nabla f(x_0,y_0))$ (sotto ho scritto per esteso la metà dei gradienti) e quindi a me risulterebbe da risolvere piuttosto il sistema $\nabla \kappa(h,k)=\lambda \nabla g(h,k)$ cioè, dividendo entrambi i membri per 2:
\[ H_{f} (x_0,y_0)\vec v=\lambda (\vec v +(\nabla f(x_0,y_0)·\vec v)\nabla f(x_0,y_0))\]
per esteso \[\left[
\begin{array}{c}
f_{xx}(x_0,y_0)h+f_{xy}(x_0,y_0)k \\
f_{xy}(x_0,y_0)h+f_{yy}(x_0,y_0)k
\end{array}
\right]=\lambda
\left[
\begin{array}{c}
h+f_x(x_0,y_0)(f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k) \\
k+f_y(x_0,y_0)(f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k)
\end{array}
\right]
\]
che, oltretutto, moltiplicando per $h$ e per $k$ rispettivamente le due componenti dei due gradienti, tenendo conto che \( h^2+k^2+(f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k)^2=1\), mi sembra che farebbe coincidere gli autovalori $\lambda$ proprio con il valore assunto da $H_{f} (x_0,y_0)\vec v · \vec v$ per i $\vec v=(h,k)$ che risolvono l'equazione e che, se il mio procedimento fosse giusto, ottimizzerebbero la funzione $\kappa(\vec v)$... Invece con l'espressione del libro mi vengono dei cubi di $h$ e $k$...
Che cosa ne pensate? Qualcuno potrebbe essere così buono da vernirmi in soccorso?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Parametrizzazioni aventi lo stesso rapporto $[h/k]$ rappresentano la medesima curva:
$[x=x_0+ht] ^^ [y=y_0+kt] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)] rarr$
$rarr [t=(x-x_0)/h] ^^ [t=(y-y_0)/k] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)] rarr$
$rarr [(x-x_0)/h=(y-y_0)/k] ^^ [z=f(x,y)] rarr$
$rarr [x-x_0=h/k(y-y_0)] ^^ [z=f(x,y)]$
Quindi, puoi comunque supporre $[h^2+k^2=1]$. Tra l'altro, essendo $[x-x_0=h/k(y-y_0)]$ l'equazione di un piano, questa proprietà deriva direttamente dalla possibilità di scrivere la sua equazione a meno di una costante moltiplicativa arbitraria. Infine, mi sembra che nel corso della dimostrazione si supponga la normale alla superficie nel punto in esame parallela all'asse $[z]$. Infatti, solo in questo caso $[x-x_0=h/k(y-y_0)]$ rappresenta un fascio di piani contenenti la normale medesima.
$[x=x_0+ht] ^^ [y=y_0+kt] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)] rarr$
$rarr [t=(x-x_0)/h] ^^ [t=(y-y_0)/k] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)] rarr$
$rarr [(x-x_0)/h=(y-y_0)/k] ^^ [z=f(x,y)] rarr$
$rarr [x-x_0=h/k(y-y_0)] ^^ [z=f(x,y)]$
Quindi, puoi comunque supporre $[h^2+k^2=1]$. Tra l'altro, essendo $[x-x_0=h/k(y-y_0)]$ l'equazione di un piano, questa proprietà deriva direttamente dalla possibilità di scrivere la sua equazione a meno di una costante moltiplicativa arbitraria. Infine, mi sembra che nel corso della dimostrazione si supponga la normale alla superficie nel punto in esame parallela all'asse $[z]$. Infatti, solo in questo caso $[x-x_0=h/k(y-y_0)]$ rappresenta un fascio di piani contenenti la normale medesima.
Grazie, Speculor!!!!! Non mi è chiara una cosa: il versore \( (h,k,f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k) \), che è parallelo al piano tangente in $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ ha la terza componente non necessariamente nulla*, quindi com'è possibile supporre che $sqrt(h^2+y^2)=1$ in generale?
Grazie ancora di cuore!
*In quest'esercizio con soluzione il mio libro vuole proprio condurre il lettore a generalizzare, supponendo proprio che $f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k != 0$, quanto detto nella parte teorica a proposito della curvatura sezionale nel caso particolare di un punto dove il piano tangente è orizzontale e quindi la terza componente del versore è nulla, caso in cui mi è chiaro che la curvatura -in accordo con la formula che conosco- è appunto \(\frac{\vec r'(0) × \vec r''(0) }{||\vec r'(0)||^3} = H_{f}(x_0,y_0) \hat v · \hat v \) con $\hat v=(h,k,0)$ e $h^2+k^2=1$.
P.S.: Dato che si tratta di geometria differenziale credevo che la sezione adatta per questo post fosse Analisi, dove l'ho erroneamente inserito: me ne scuso con i moderatori.
Grazie ancora di cuore!
*In quest'esercizio con soluzione il mio libro vuole proprio condurre il lettore a generalizzare, supponendo proprio che $f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k != 0$, quanto detto nella parte teorica a proposito della curvatura sezionale nel caso particolare di un punto dove il piano tangente è orizzontale e quindi la terza componente del versore è nulla, caso in cui mi è chiaro che la curvatura -in accordo con la formula che conosco- è appunto \(\frac{\vec r'(0) × \vec r''(0) }{||\vec r'(0)||^3} = H_{f}(x_0,y_0) \hat v · \hat v \) con $\hat v=(h,k,0)$ e $h^2+k^2=1$.
P.S.: Dato che si tratta di geometria differenziale credevo che la sezione adatta per questo post fosse Analisi, dove l'ho erroneamente inserito: me ne scuso con i moderatori.
Non ho capito se stai utilizzando questa parametrizzazione:
$[x=x_0+ht] ^^ [y=y_0+kt] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)]$
anche nel caso generale. In ogni modo, qui non si capisce quali contenuti sono tuoi e quali del tuo libro. Dopo quello che hai detto, ho l'impressione che il libro dimostri il caso particolare lasciando al lettore il caso generale come esercizio. Se è così, devo presumere che tu stia utilizzando la parametrizzazione che il libro indicava per risolvere il caso particolare sperando che funzioni anche nel caso generale. Ma in base al mio messaggio precedente, a meno di particolari interpretazioni che tuttavia mi sfuggono, non mi sembra assolutamente possibile. Certo, se il libro stesso la propone anche nel caso generale, cosa di cui dubito fortemente, allora può avere senso interrogarsi sul perchè valga anche nel caso generale.
$[x=x_0+ht] ^^ [y=y_0+kt] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)]$
anche nel caso generale. In ogni modo, qui non si capisce quali contenuti sono tuoi e quali del tuo libro. Dopo quello che hai detto, ho l'impressione che il libro dimostri il caso particolare lasciando al lettore il caso generale come esercizio. Se è così, devo presumere che tu stia utilizzando la parametrizzazione che il libro indicava per risolvere il caso particolare sperando che funzioni anche nel caso generale. Ma in base al mio messaggio precedente, a meno di particolari interpretazioni che tuttavia mi sfuggono, non mi sembra assolutamente possibile. Certo, se il libro stesso la propone anche nel caso generale, cosa di cui dubito fortemente, allora può avere senso interrogarsi sul perchè valga anche nel caso generale.
"speculor":
Non ho capito se stai utilizzando questa parametrizzazione:
$[x=x_0+ht] ^^ [y=y_0+kt] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)]$
Sì, è quella della formula di $\vec r(t)$ all'inizio del post.
"speculor":
Dopo quello che hai detto, ho l'impressione che il libro dimostri il caso particolare lasciando al lettore il caso generale come esercizio.
Sì, ma tutto ciò che ho scritto, tranne quando dico esplicitamente che "avrei calcolato", "risolverei", "mi sembra"..., è la soluzione data dal libro. Evidenzio in rosso la "crusca del mio sacco" per distinguerla dalla "farina del sacco" del libro
"speculor":
Certo, se il libro stesso la propone anche nel caso generale, cosa di cui dubito fortemente, allora può avere senso interrogarsi sul perchè valga anche nel caso generale.
Se per caso non valesse la formula del libro per la curvatura \(H_{f}(x_0,y_0)\vec v ·\vec v\), ma valesse piuttosto qualcosa come la mia \(\sqrt{h^2+k^2}H_{f}(x_0,y_0)\vec v ·\vec v = ||\vec v||H_{f}(x_0,y_0)\vec v ·\vec v \), ovviamente il sistema di equazioni da me ottenuto utilizzando il teorema dei moltiplicatori di Lagrange (cioè \( H_{f} (x_0,y_0)\vec v=\lambda (\vec v +(\nabla f(x_0,y_0)·\vec v)\nabla f(x_0,y_0))\), sistema da me ottenuto assumendo come dice il libro $\kappa(\vec v) = H_{f} (x_0,y_0)\vec v ·\vec v$) non varrebbe. Varrebbe però l'equazione agli autovalori \( H_{f}(x_0,y_0)\vec v = \lambda( v+\nabla f(0)·\vec v \vec v) \) del libro?
A me, considerando la curvatura che ho calcolato io \(||\vec v||H_{f}(x_0,y_0)\vec v ·\vec v\), verrebbe piuttosto, calcolando il gradiente della curvatura ed imponendolo uguale a $\lambda$ volte il gradiente del vincolo, l'equazione agli autovalori
\[\nabla \kappa (h,k) =2||\vec v||H_{f}(x_0,y_0)\vec v +\frac{H_{f}(x_0,y_0)\vec v ·\vec v}{||\vec v||} \vec v = \lambda \nabla g(h,k)=2\lambda (\vec v +(\nabla f(x_0,y_0)·\vec v)\nabla f(x_0,y_0)) \]
che non mi pare in accordo con l'equazione agli autovalori del libro, cui non so proprio come si arrivi (assumendo che non è un refuso).
Grazie di cuore ancora!!!
Ok. Prima di metterci le mani, vorrei una risposta definitiva a questa domanda: la parametrizzazione $[x=x_0+ht] ^^ [y=y_0+kt] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)]$ è utilizzata dal libro anche nel caso generale, cioè nel caso in cui il fascio di piani contiene la normale alla superficie nel punto in esame non parallela all'asse z?
Ben fatto, saperne di più 
"speculor":
la parametrizzazione $[x=x_0+ht] ^^ [y=y_0+kt] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)]$ è utilizzata dal libro anche nel caso generale, cioè nel caso in cui il fascio di piani contiene la normale alla superficie nel punto in esame non parallela all'asse z?
Sì. In tal caso mi sembra chiaro che il versore parallelo al piano tangente \( (h,k,f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k) \neq (h,k,0)\) e quindi $\||vec v||=||"("h,k")"|| < 1$.
Grazie di cuore di nuovo!!!
Ci devo pensare. Anche perchè, come ho scritto nel mio primo messaggio:
$[x=x_0+ht] ^^ [y=y_0+kt] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)] rarr [x-x_0=h/k(y-y_0)] ^^ [z=f(x,y)]$
quelle parametrizzazioni rappresentano le curve intersezioni della superficie $[z=f(x,y)]$ con il fascio di piani $[x-x_0=h/k(y-y_0)]$ contenenti la direzione individuata dall'asse z. Non riesco proprio a capire come faccia il testo a dire che si possano utilizzare anche nel caso generale. Certo, posso sempre ruotare gli assi in modo tale da ricadere nel caso particolare, ma non mi sembra che tu abbia menzionato rotazioni. Ti faccio sapere.
$[x=x_0+ht] ^^ [y=y_0+kt] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)] rarr [x-x_0=h/k(y-y_0)] ^^ [z=f(x,y)]$
quelle parametrizzazioni rappresentano le curve intersezioni della superficie $[z=f(x,y)]$ con il fascio di piani $[x-x_0=h/k(y-y_0)]$ contenenti la direzione individuata dall'asse z. Non riesco proprio a capire come faccia il testo a dire che si possano utilizzare anche nel caso generale. Certo, posso sempre ruotare gli assi in modo tale da ricadere nel caso particolare, ma non mi sembra che tu abbia menzionato rotazioni. Ti faccio sapere.
Un attimo: scusami, non avevo ben inteso la tua domanda! Le curve sezionali così parametrizzate -e come risulta dall'espressione di $\vec r (t)$ all'inizio del thread- sono intersezioni della superficie con piani ortogonali al piano $z=0$ e passanti per $(x_0,y_0,0)$, contenenti certamente la direzione di $(0,0,1)$. Quello che intendevo dire è che il piano tangente alla superficie non è necessariamente parallelo al piano $z=0$ e non ha normale parallela a $(0,0,1)$.
Il libro non menziona alcuna rotazione.
$\aleph_1$ grazie!!!!!!
Il libro non menziona alcuna rotazione.
$\aleph_1$ grazie!!!!!!
Ok, adesso mi torna. Tuttavia, se non ricordo male, solitamente si vanno a studiare le curve sezionali ottenute intersecando la superficie con piani contenenti la normale. A questo punto, correggimi se sbaglio, il caso generale contempla le curve sezionali ottenute anche con piani non contenenti la normale. Finalmente ci siamo capiti.
Sì, il mio libro propone di calcolare la curvatura sezionale in funzione della direzione di $\vec v=(h,k)$, indipendentemente dal fatto che la normale alla superficie sia contenuta o no nel piano che seziona la superficie lungo quella curvatura sezionale, e poi propone di trovare la direzione delle curvature principali (cosa che farei ottimizzando $\kappa(h,k)$, per esempio con il metodo dei moltiplicatori lagrangiani, se non sbaglio)...
Scusami ancora per l'equivoco e grazie ancora!!!
Scusami ancora per l'equivoco e grazie ancora!!!
Avevi ragione. Da parte mia, non avendo compreso quale fosse il problema, è doveroso contestualizzare le considerazioni del primo messaggio nel solo ambito del caso più semplice. Come si era già detto, parametrizzazioni aventi lo stesso rapporto $[h/k]$ rappresentano la medesima curva:
$[x=x_0+ht] ^^ [y=y_0+kt] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)] rarr$
$rarr [t=(x-x_0)/h] ^^ [t=(y-y_0)/k] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)] rarr$
$rarr [(x-x_0)/h=(y-y_0)/k] ^^ [z=f(x,y)] rarr$
$rarr [x-x_0=h/k(y-y_0)] ^^ [z=f(x,y)]$
Nel caso in cui:
$[vecnablaf(x_0,y_0)=0]$
si ottiene:
$[x'(0)=h] ^^ [y'(0)=k] ^^ [z'(0)=0]$
$[x''(0)=0] ^^ [y''(0)=0] ^^ [z''(0)=hatHf(x_0,y_0)vecv*vecv]$
$[k(0)=(||vec(r')(0)xxvec(r'')(0)||)/||vec(r')(0)||^3] rarr [k(0)=hatHf(x_0,y_0)vecv/||vecv||*vecv/||vecv||]$
In base alle considerazioni precedenti, si può vincolare la ricerca del minimo e del massimo della curvatura imponendo la condizione:
$[||vecv||=1]$
e senza togliere generalità al problema. Quindi:
$[k(0)=hatHf(x_0,y_0)vecv*vecv] ^^ [||vecv||=1] rarr [hatHf(x_0,y_0)vecv=lambdavecv] ^^ [lambda =hatHf(x_0,y_0)vecv*vecv=k(0)]$
Nell'ambito del caso generale, data l'arbitrarietà insita nella parametrizzazione, è ancora possibile imporre la medesima condizione. Tuttavia, essa assumerà una forma diversa:
$[||vecv||=1] rarr [h^2+k^2+(f_xh+f_yk)^2=1]$
Purtroppo
o per fortuna 
, mi trovo d'accordo con le tue considerazioni precedenti. Poichè mi risulta praticamente impossibile arrivare all'equazione del testo, potrebbe trattarsi di un errore oppure di una forma alternativa, per dirimere la questione non ci resta che confrontare le due risoluzioni utilizzando il seguente semplice esempio:
$[z=f(x,y)=x^2+y^2] ^^ P(1,0,1)$
Se non ho sbagliato i conti, l'equazione del testo porta a risultati differenti rispetto al procedimento "forza bruta" dei moltiplicatori di Lagrange, quello che giustamente avevi delineato in forma generale. Per questo motivo, ti invito a procedere in questo caso concreto, i conti sono piuttosto semplici in entrambi i modi. Rimango in attesa dei tuoi risultati, nel frattempo ti scrivo i miei:
Metodo "forza bruta": $\{(h=+-sqrt5/5),(k=0),(lambda=3sqrt5/25):} vv \{(h=0),(k=+-1),(lambda=3):}$
Metodo del testo: $\{(h=+-sqrt5/5),(k=0),(lambda=2/9(5+-2sqrt5)):} vv \{(h=0),(k=+-1),(lambda=2):} vv \{(h=+-sqrt6/6),(k=+-sqrt6/6),(AAlambdainRR):}$
In $[lambda=2/9(5+-2sqrt5)]$ i segni sono invertiti. In ogni modo, anche se può avere una valenza dal punto di vista didattico, non mi sembra un esercizio molto significativo. Soprattutto perchè, allo scopo di agevolare i calcoli, continua a considerare solo una particolare famiglia di sezioni. Diverso sarebbe stato se l'analisi fosse stata svolta considerando una sezione generica.
$[x=x_0+ht] ^^ [y=y_0+kt] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)] rarr$
$rarr [t=(x-x_0)/h] ^^ [t=(y-y_0)/k] ^^ [z=f(x_0+ht,y_0+kt)] rarr$
$rarr [(x-x_0)/h=(y-y_0)/k] ^^ [z=f(x,y)] rarr$
$rarr [x-x_0=h/k(y-y_0)] ^^ [z=f(x,y)]$
Nel caso in cui:
$[vecnablaf(x_0,y_0)=0]$
si ottiene:
$[x'(0)=h] ^^ [y'(0)=k] ^^ [z'(0)=0]$
$[x''(0)=0] ^^ [y''(0)=0] ^^ [z''(0)=hatHf(x_0,y_0)vecv*vecv]$
$[k(0)=(||vec(r')(0)xxvec(r'')(0)||)/||vec(r')(0)||^3] rarr [k(0)=hatHf(x_0,y_0)vecv/||vecv||*vecv/||vecv||]$
In base alle considerazioni precedenti, si può vincolare la ricerca del minimo e del massimo della curvatura imponendo la condizione:
$[||vecv||=1]$
e senza togliere generalità al problema. Quindi:
$[k(0)=hatHf(x_0,y_0)vecv*vecv] ^^ [||vecv||=1] rarr [hatHf(x_0,y_0)vecv=lambdavecv] ^^ [lambda =hatHf(x_0,y_0)vecv*vecv=k(0)]$
Nell'ambito del caso generale, data l'arbitrarietà insita nella parametrizzazione, è ancora possibile imporre la medesima condizione. Tuttavia, essa assumerà una forma diversa:
$[||vecv||=1] rarr [h^2+k^2+(f_xh+f_yk)^2=1]$
Purtroppo
o per fortuna , mi trovo d'accordo con le tue considerazioni precedenti. Poichè mi risulta praticamente impossibile arrivare all'equazione del testo, potrebbe trattarsi di un errore oppure di una forma alternativa, per dirimere la questione non ci resta che confrontare le due risoluzioni utilizzando il seguente semplice esempio:$[z=f(x,y)=x^2+y^2] ^^ P(1,0,1)$
Se non ho sbagliato i conti, l'equazione del testo porta a risultati differenti rispetto al procedimento "forza bruta" dei moltiplicatori di Lagrange, quello che giustamente avevi delineato in forma generale. Per questo motivo, ti invito a procedere in questo caso concreto, i conti sono piuttosto semplici in entrambi i modi. Rimango in attesa dei tuoi risultati, nel frattempo ti scrivo i miei:
Metodo "forza bruta": $\{(h=+-sqrt5/5),(k=0),(lambda=3sqrt5/25):} vv \{(h=0),(k=+-1),(lambda=3):}$
Metodo del testo: $\{(h=+-sqrt5/5),(k=0),(lambda=2/9(5+-2sqrt5)):} vv \{(h=0),(k=+-1),(lambda=2):} vv \{(h=+-sqrt6/6),(k=+-sqrt6/6),(AAlambdainRR):}$
In $[lambda=2/9(5+-2sqrt5)]$ i segni sono invertiti. In ogni modo, anche se può avere una valenza dal punto di vista didattico, non mi sembra un esercizio molto significativo. Soprattutto perchè, allo scopo di agevolare i calcoli, continua a considerare solo una particolare famiglia di sezioni. Diverso sarebbe stato se l'analisi fosse stata svolta considerando una sezione generica.
$\aleph_2$ grazie (devo cominciare ad aumentare l'indice del transfinito ), Speculor! Numericamente mi verrebbero le quattro soluzioni $h=0,k=+-1,\lambda=3/2$ e $h=+-sqrt(5)/5,k=0,\lambda=(3sqrt(5))/25$... ma avrò sbagliato qualcosa senz'altro. L'ho ottenute appunto con il metodo dei moltiplicatori lagrangiani ponendo (chiamo $\kappa$ la curvatura giusto per distinguerla dalla componente $k$ di $\vec v$) $\nabla \kappa(h,k)=\lambda g(h,k)$ dove \(g(h,k)=h^2+k^2+(f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k)^2-1=0\) e \( \kappa(h,k) = \sqrt{h^2+k^2}(f_{x x}(x_0,y_0)h^2+2f_{xk}(x_0,y_0)hk+f_{yy}(x_0,y_0)k^2)\), cioè (intendendo tutte le derivate di $f$ in $(x_0,y_0)$):
\[\left[
\begin{array}{c}
\frac{h}{\sqrt{h^2+k^2}}(f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2)+\sqrt{h^2+k^2}(2f_{xx}h+2f_{xy}k) \\
\frac{k}{\sqrt{h^2+k^2}}(f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2)+\sqrt{h^2+k^2}(2f_{xy}h+2f_{yy}k)
\end{array}
\right]=\lambda
\left[
\begin{array}{c}
2h+2f_x(f_xh+f_yk) \\
2k+2f_y(f_xh+f_yk)
\end{array}
\right]
\]
che mi pare esprimibile in maniera più sintetica come
\[\nabla \kappa (h,k) =\frac{\hat H f(x_0,y_0)\vec v ·\vec v}{||\vec v||} \vec v +2||\vec v||\hat H f (x_0,y_0)\vec v = \lambda \nabla g(h,k)=2\lambda (\vec v +(\nabla f(x_0,y_0)·\vec v)\nabla f(x_0,y_0)).\]
dove $\hat H f(x_0,y_0)$ è la matrice hessiana di $f$ in $(x_0,y_0)$ e dove $\vec v$ è come sempre il nostro vettore $(h,k)$.
Oltretutto moltiplicando per $h$ la riga superiore dei due gradienti dell'equazione agli autovalori sopra, per $k$ la riga inferiore, e sommando membro a membro le due uguaglianze $(\partial \kappa)/(\partial h)=\lambda (\partial g)/(\partial h)$ e $(\partial \kappa)/(\partial k)=\lambda (\partial g)/(\partial k)$, se è soddisfatto il vincolo $h^2+k^2+(f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k)^2-1=0$, mi pare di ottenere $3 \kappa(h,k)=2 \lambda$ e quindi mi pare che, se fosse mai tutto corretto, $2/3 \lambda$ sarebbero i valori delle curvature principali.
Che ne dici (e naturalmente che ne dite, lettori del post, che è ovviamente aperto a qualunque contributo)?
$\aleph_3$ grazie
!!!
), Speculor! Numericamente mi verrebbero le quattro soluzioni $h=0,k=+-1,\lambda=3/2$ e $h=+-sqrt(5)/5,k=0,\lambda=(3sqrt(5))/25$... ma avrò sbagliato qualcosa senz'altro. L'ho ottenute appunto con il metodo dei moltiplicatori lagrangiani ponendo (chiamo $\kappa$ la curvatura giusto per distinguerla dalla componente $k$ di $\vec v$) $\nabla \kappa(h,k)=\lambda g(h,k)$ dove \(g(h,k)=h^2+k^2+(f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k)^2-1=0\) e \( \kappa(h,k) = \sqrt{h^2+k^2}(f_{x x}(x_0,y_0)h^2+2f_{xk}(x_0,y_0)hk+f_{yy}(x_0,y_0)k^2)\), cioè (intendendo tutte le derivate di $f$ in $(x_0,y_0)$):\[\left[
\begin{array}{c}
\frac{h}{\sqrt{h^2+k^2}}(f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2)+\sqrt{h^2+k^2}(2f_{xx}h+2f_{xy}k) \\
\frac{k}{\sqrt{h^2+k^2}}(f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2)+\sqrt{h^2+k^2}(2f_{xy}h+2f_{yy}k)
\end{array}
\right]=\lambda
\left[
\begin{array}{c}
2h+2f_x(f_xh+f_yk) \\
2k+2f_y(f_xh+f_yk)
\end{array}
\right]
\]
che mi pare esprimibile in maniera più sintetica come
\[\nabla \kappa (h,k) =\frac{\hat H f(x_0,y_0)\vec v ·\vec v}{||\vec v||} \vec v +2||\vec v||\hat H f (x_0,y_0)\vec v = \lambda \nabla g(h,k)=2\lambda (\vec v +(\nabla f(x_0,y_0)·\vec v)\nabla f(x_0,y_0)).\]
dove $\hat H f(x_0,y_0)$ è la matrice hessiana di $f$ in $(x_0,y_0)$ e dove $\vec v$ è come sempre il nostro vettore $(h,k)$.
Oltretutto moltiplicando per $h$ la riga superiore dei due gradienti dell'equazione agli autovalori sopra, per $k$ la riga inferiore, e sommando membro a membro le due uguaglianze $(\partial \kappa)/(\partial h)=\lambda (\partial g)/(\partial h)$ e $(\partial \kappa)/(\partial k)=\lambda (\partial g)/(\partial k)$, se è soddisfatto il vincolo $h^2+k^2+(f_x (x_0,y_0)h+f_y (x_0,y_0)k)^2-1=0$, mi pare di ottenere $3 \kappa(h,k)=2 \lambda$ e quindi mi pare che, se fosse mai tutto corretto, $2/3 \lambda$ sarebbero i valori delle curvature principali.
Che ne dici (e naturalmente che ne dite, lettori del post, che è ovviamente aperto a qualunque contributo)?
$\aleph_3$ grazie
!!!
Essendo interessato esclusivamente al confronto dei risultati, ho preferito procedere nel caso concreto:
$[z=x^2+y^2] ^^ P(1,0,1) rarr$
$rarr \{(x=1+ht),(y=kt),(z=(h^2+k^2)t^2+2ht+1):} rarr \{(x=h),(y=k),(z=2(h^2+k^2)t+2h):} rarr \{(x=0),(y=0),(z=2(h^2+k^2)):}$
$[k(0)=(||vec(r')(0)xxvec(r'')(0)||)/||vec(r')(0)||^3] rarr [k(0)=(2(h^2+k^2)^(3/2))/(5h^2+k^2)^(1/2)]$
Si tratta di risolvere il seguente problema di minimo e massimo vincolato:
$[N(0)=2(h^2+k^2)^(3/2)] ^^ [5h^2+k^2=1]$
$\{(6h(h^2+k^2)^(1/2)=10lambdah),(6k(h^2+k^2)^(1/2)=2lambdak),(5h^2+k^2=1):} rarr \{(h=+-sqrt5/5),(k=0),(lambda=3/25sqrt5):} vv \{(h=0),(k=+-1),(lambda=3):}$
Effettivamente, ho dimenticato di calcolare le corrispondenti curvature:
$\{(h=+-sqrt5/5),(k=0),(lambda=3/25sqrt5):} rarr [k(0)=2/25sqrt5] ^^ \{(h=0),(k=+-1),(lambda=3):} rarr [k(0)=2]$
Non è un caso che valga la relazione $[k(0)=2/3lambda]$. Se non ricordo male, e come tu stesso hai argomentato, si può ottenere analizzando il caso generale. A questo punto, il metodo alternativo dovrebbe fornire le medesime soluzioni, visto che il valore di $[lambda]$ non è essenziale. Rimane il fatto che quest'ultimo metodo fornisce un'ulteriore soluzione la cui origine andrebbe chiarita.
$[z=x^2+y^2] ^^ P(1,0,1) rarr$
$rarr \{(x=1+ht),(y=kt),(z=(h^2+k^2)t^2+2ht+1):} rarr \{(x=h),(y=k),(z=2(h^2+k^2)t+2h):} rarr \{(x=0),(y=0),(z=2(h^2+k^2)):}$
$[k(0)=(||vec(r')(0)xxvec(r'')(0)||)/||vec(r')(0)||^3] rarr [k(0)=(2(h^2+k^2)^(3/2))/(5h^2+k^2)^(1/2)]$
Si tratta di risolvere il seguente problema di minimo e massimo vincolato:
$[N(0)=2(h^2+k^2)^(3/2)] ^^ [5h^2+k^2=1]$
$\{(6h(h^2+k^2)^(1/2)=10lambdah),(6k(h^2+k^2)^(1/2)=2lambdak),(5h^2+k^2=1):} rarr \{(h=+-sqrt5/5),(k=0),(lambda=3/25sqrt5):} vv \{(h=0),(k=+-1),(lambda=3):}$
Effettivamente, ho dimenticato di calcolare le corrispondenti curvature:
$\{(h=+-sqrt5/5),(k=0),(lambda=3/25sqrt5):} rarr [k(0)=2/25sqrt5] ^^ \{(h=0),(k=+-1),(lambda=3):} rarr [k(0)=2]$
Non è un caso che valga la relazione $[k(0)=2/3lambda]$. Se non ricordo male, e come tu stesso hai argomentato, si può ottenere analizzando il caso generale. A questo punto, il metodo alternativo dovrebbe fornire le medesime soluzioni, visto che il valore di $[lambda]$ non è essenziale. Rimane il fatto che quest'ultimo metodo fornisce un'ulteriore soluzione la cui origine andrebbe chiarita.
Grazie di cuore ancora!!! Ho ripetuto i calcoli e devo dire che quel $3/2$ al posto del tuo 3 credo di averlo scritto perché, pasticciando a mano, devo aver dimenticato di semplificare anche destra quel $2\lambda k$ mentre a sinistra avevo diviso il 6 per 2.
Vedo passo a passo che hai usato esattamente il procedimento che ho usato io e che nel caso generale è scritto nell'equazione agli autovalori sopra e questo mi rincuora parecchio...
Vedo passo a passo che hai usato esattamente il procedimento che ho usato io e che nel caso generale è scritto nell'equazione agli autovalori sopra e questo mi rincuora parecchio...
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