Curvatura di Gauss su un equazione
Sia $S$ l’insieme dei punti $(x,y,z)inRR^3$ che soddisfano l’equazione $x^3+y^2+z^2=1$. Calcolare le curvature principali e la curvatura gaussiana nei punti $p_1=(1,0,0)$, $p_2=(0,1,0)$ e $p_3=(0,0,1)$.
Non so bene come fare dato che sono abituato a trovare queste due cose tramite parametrizzazioni dato che basta studiare le rispettive derivate parziali di una tale parametrizzazione... Sicuramente una volta trovate le curvature principali basta moltiplicarle per trovare la curvatura gaussiana, però come faccio a trovare le curvature principali? C'è un modo veloce usando l'equazione che mi permette di fare cio? L'unica cosa che mi viene in mente è di usare il grandiente e la matrice Hessiana di $g=x^3+y^2+z^2-1$ ma non so se sia giusto e cosa farci in caso... un aiuto ? Grazie.
Non so bene come fare dato che sono abituato a trovare queste due cose tramite parametrizzazioni dato che basta studiare le rispettive derivate parziali di una tale parametrizzazione... Sicuramente una volta trovate le curvature principali basta moltiplicarle per trovare la curvatura gaussiana, però come faccio a trovare le curvature principali? C'è un modo veloce usando l'equazione che mi permette di fare cio? L'unica cosa che mi viene in mente è di usare il grandiente e la matrice Hessiana di $g=x^3+y^2+z^2-1$ ma non so se sia giusto e cosa farci in caso... un aiuto ? Grazie.
Risposte
[strike][/strike]Questo e' un esempio molto "addomesticato", nel senso che la superficie e i punti sono stati scelti accuratamente in modo da semplificare i calcoli.
Ad es, i punto $p_1 = (1,0,0)$.
In quel punto la normale e' $\bb n = (1,0,0)$ e quindi il piano tangente e' $x = 1$.
Se si esplicita la $x$ si ottiene $x = \root(3)(1-y^2-z^2)$.
Adesso e' sufficiente prendere un qualsiasi piano normale, ad es. $y = 0$ oppure $z = 0$ oppure qualsiasi $z = m y$, fare la derivata seconda e vedere che la curvatura non cambia.
Prendiamo $z=0$
$x = \root(3)(1-y^2)$.
La derivata seconda in $y= 0$ e' $-2/3$ e quindi il raggio di curvatura principale e' $-3/2$.
Tutti i raggi di curvatura sono uguali in quel punto.
Per gli altri due punti si puo' sempre individuare una circonferenza (la superficie e' una superficie di rivoluzione) e quindi una delle due curvature principali e' il raggio della circonferenza. L'altra curvatura mi sembra 0, direi che non e' difficile da mostrare.
La circonferenza in $p_2$ e $p_3$ sarebbe $x^2+y^2=1$ e quindi il raggio e' 1.
Ad es, i punto $p_1 = (1,0,0)$.
In quel punto la normale e' $\bb n = (1,0,0)$ e quindi il piano tangente e' $x = 1$.
Se si esplicita la $x$ si ottiene $x = \root(3)(1-y^2-z^2)$.
Adesso e' sufficiente prendere un qualsiasi piano normale, ad es. $y = 0$ oppure $z = 0$ oppure qualsiasi $z = m y$, fare la derivata seconda e vedere che la curvatura non cambia.
Prendiamo $z=0$
$x = \root(3)(1-y^2)$.
La derivata seconda in $y= 0$ e' $-2/3$ e quindi il raggio di curvatura principale e' $-3/2$.
Tutti i raggi di curvatura sono uguali in quel punto.
Per gli altri due punti si puo' sempre individuare una circonferenza (la superficie e' una superficie di rivoluzione) e quindi una delle due curvature principali e' il raggio della circonferenza. L'altra curvatura mi sembra 0, direi che non e' difficile da mostrare.
La circonferenza in $p_2$ e $p_3$ sarebbe $x^2+y^2=1$ e quindi il raggio e' 1.
Ho trovato questa formula per il calcolo della curvatura gaussiana, però credo ci sia un modo piu semplice per arrivare a calcolare le curvature principali, molto probabilmente usando un risultato che sta in questa dimostrazione...
Le curvature vengono $K_{p_1}=4/9$ , $K_{p_2}=0$ , $K_{p_3}=0$
Le curvature vengono $K_{p_1}=4/9$ , $K_{p_2}=0$ , $K_{p_3}=0$
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