Curva/piano

[megaempire]

$\{ (x = t^2),(y = t),(z = e^t):}$ perché questa curva non è piana?

[apatriarca]

Ma che significa per te che una curva è piana? Quale sarebbe il piano contenente tale curva?

[megaempire]

una curva è piana quando esiste un piano ke la contiene tutta...no?

[apatriarca]

Sì, e quindi quale sarebbe il piano che la contiene tutta in questo caso? Mi sembra abbastanza evidente che non è una curva piana..

[megaempire]

io dovrei scrivere $a*t^2+b*t + c*e^t = 0$ e far vedere ke non esiste alcuna t...non c'è un altro modo? come fai a dire ke è evidente?

[apatriarca]

In una curva piana le derivate prima e seconda sono contenuti in un piano costante (sono perpendicolari ad un vettore costante quindi). Questo non avviene per questa curva.. La derivata prima è \( (2\,t, 1, e^t) \), mentre la seconda è \( (2, 0, e^t). \) Il loro prodotto vettoriale \( (e^t, 2\,(1 - t)\,e^t, -2) \) non ha certamente direzione costante. Considera ad esempio il suo valore per \(t = 0,\) cioè \( (1, 2, -2), \) e quello per \( t = 1, \) cioè \( (e, 0, -2).\) I due vettori non sono paralleli e determinano due piani osculatori diversi. Ma per vederlo non ho fatto i calcoli in realtà. Mi sono basato sull'esperienza. Non sapendo comunque quali sono le tue conoscenze non so se questa dimostrazione va bene per te..

[megaempire]

In una curva piana le derivate prima e seconda sono contenuti in un piano costante...il piano osculatore?
sono perpendicolari ad un vettore costante...il vettore binormale?
quindi un altro metodo per vedere se una curva è piana è : calcolo derivata prima e seconda, faccio il prodotto vettoriale e il vettore binormale non deve dipendere da t?

[apatriarca]

Il vettore binormale (come quelli tangente e normale) è di norma unitaria, mentre questo non è vero per il vettore che calcoli semplicemente come prodotto vettoriale delle derivate. Il piano è effettivamente il piano osculatore. Il vettore binormale deve essere costante, ma il vettore che calcoli come prodotto vettoriale può dipendere da \(t\) ma solo nel modulo (non nella direzione). Considera per esempio il caso della circonferenza in cui invece di muoverti lungo la curva con una velocità costante, la aumenti in modo esponenziale.

[megaempire]

certo mi è chiaro adesso...grazie mille