Curva traiettoria di una particella
Ciao ragazzi, mi date una mano a risolvere questo esercizio:
Per prima cosa, a me non tornano i dati inerenti la circonferenza: se parto dal punto $(0, 0)$, muovendomi su una circonferenza di centro $(1, 0)$, mi sembra corretto supporre che il raggio della circonferenza in questione sia $1$, ma, se anche il punto $(1, -2)$ appartiene alla circonferenza, le cose non mi tornano...
Supponendo anche di avere i dati corretti per quanto riguarda la circonferenza, non so come muovermi. Ciò che mi crea problemi, è il fatto che la traiettoria sia in parte formata da una circonferenza, in un secondo momento da una retta di direzione $(1, 1)$ passante per il punto $(3, 0)$, per poi tornare all'origine, muovendosi lungo l'asse delle x.
Non so come legare questa traiettoria al tempo, perché mi pare di non avere dati a sufficienza.
Mi potete aiutare?
Grazie!
Una particella in moto su un piano percorre, pertendo dal punto $(0,0)$ la circonferenza di centro $(1,0)$ fino al punto $(1,−2)$; prosegue poi con direzione rettilinea fino al punto $(3,0)$ e torna infine al punto iniziale muovendosi lungo l’asse delle ascisse. Determinare una curva il cui supporto descriva la traiettoria della particella; determinarne la retta tangente nel punto $(1 − \sqrt2, \sqrt2)$.
Per prima cosa, a me non tornano i dati inerenti la circonferenza: se parto dal punto $(0, 0)$, muovendomi su una circonferenza di centro $(1, 0)$, mi sembra corretto supporre che il raggio della circonferenza in questione sia $1$, ma, se anche il punto $(1, -2)$ appartiene alla circonferenza, le cose non mi tornano...
Supponendo anche di avere i dati corretti per quanto riguarda la circonferenza, non so come muovermi. Ciò che mi crea problemi, è il fatto che la traiettoria sia in parte formata da una circonferenza, in un secondo momento da una retta di direzione $(1, 1)$ passante per il punto $(3, 0)$, per poi tornare all'origine, muovendosi lungo l'asse delle x.
Non so come legare questa traiettoria al tempo, perché mi pare di non avere dati a sufficienza.
Mi potete aiutare?
Grazie!
Risposte
Se prendi $(-1,0)$ come punto di partenza tutto dovrebbe tornare.
Ok, grazie mille. Però ancora non so come proseguire per risolvere l'esercizio .
"delca85":
Non so come legare questa traiettoria al tempo, perché mi pare di non avere dati a sufficienza.
ma infatti penso che non ti chieda questo altrimenti si sarebbe parlato di "legge oraria"
secondo me si richiede la parametrizzazione dei 3 tratti della traiettoria
quella meno banale è la prima,relativa all'arco di circonferenza ,di centro (1,0) e raggio 2,di estremi(-1,0) e (1,-2)
la circonferenza ha equazione $x^2+y^2-2x-3=0$
passando alle coordinate polari si ha
$rho^2-2rhocostheta-3=0$
da questa equazione si ricava l'equazione polare della circonferenza
$rho=costheta+sqrt{cos^2theta+3}$
la parametrizzazione dell'arco di circonferenza è
$x=(costheta+sqrt{cos^2theta+3})costheta$
$y=(costheta+sqrt{cos^2theta+3})sentheta$
$theta in [pi,2pi-arccos(sqrt(5)/5)]$
Grazie Porzio. Tutto chiaro per quanto riguarda la parte di arco di circonferenza.
Per il resto, come posso esprimere il fatto che la particella si muova prima sulla retta di equazione cartesiana $y = x - 3$ e poi lungo l'asse delle $x$? E' questo passaggio, probabilmente molto banale, che, però, non mi risulta chiaro!
Per il resto, come posso esprimere il fatto che la particella si muova prima sulla retta di equazione cartesiana $y = x - 3$ e poi lungo l'asse delle $x$? E' questo passaggio, probabilmente molto banale, che, però, non mi risulta chiaro!
il 2° tratto si può parametrizzare semplicemente in questo modo
$x=s$
$y=s-3$
$s in [1,3]$
3° tratto
$x=3-s$
$y=0$
$s in [0,4]$
$x=s$
$y=s-3$
$s in [1,3]$
3° tratto
$x=3-s$
$y=0$
$s in [0,4]$
Grazie ancora per la risposta, e scusa per il mio ritardo.
Ho ancora le idee confuse: con questa parametrizzazione, non definisco univocamente la traiettoria, perché per $s = 1$, potrei trovarmi in diverse posizioni del piano. E' comunque corretto? Grazie ancora e scusa l'insistenza!
Ho ancora le idee confuse: con questa parametrizzazione, non definisco univocamente la traiettoria, perché per $s = 1$, potrei trovarmi in diverse posizioni del piano. E' comunque corretto? Grazie ancora e scusa l'insistenza!
"porzio":
con questa parametrizzazione, non definisco univocamente la traiettoria, perché per s=1, potrei trovarmi in diverse posizioni del piano.
perchè ?
la s non si sostituisce contemporaneamente
per convincertene,nulla ti vieta ,per la terza traiettoria,di dare un altro nome al parametro,ad esempio $z$
Ho capito! Grazie. Pensavo che $s$ fosse un parametro che rappresentasse il tempo, e, di conseguenza, sempre lo stesso.
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