Curva razionale intera di quarto grado
Assegnata una circonferenza di raggio AB=2 sia $t$ la semiretta tangente alla semicirconferenza in B e K la proiezione del generico punto P su $t$ della semicirconferenza.
a) Determinare per quale posizione di P è massima la somma dei cateti del triangolo APB. Fissato opportunamente un sistema di riferimento scrivere l'equazione della curva razionale intera di quarto grado che ha:
gli estremi relativi in A, B e nel punto P determinato.
Ho trovato P ed ho visto che deve stare al centro dell'arco descritto dalla semicirconferenza cioè in realtà è il lato di un quadrato iscritto nella circonferenza corrispondente:
$ = sqrt2$
ma poi non riesco a capire esattamente cosa devo fare.
Vi ringrazio tanto.
a) Determinare per quale posizione di P è massima la somma dei cateti del triangolo APB. Fissato opportunamente un sistema di riferimento scrivere l'equazione della curva razionale intera di quarto grado che ha:
gli estremi relativi in A, B e nel punto P determinato.
Ho trovato P ed ho visto che deve stare al centro dell'arco descritto dalla semicirconferenza cioè in realtà è il lato di un quadrato iscritto nella circonferenza corrispondente:
$ = sqrt2$
ma poi non riesco a capire esattamente cosa devo fare.
Vi ringrazio tanto.
Risposte
Credo che la sezione di geometria sia più appropriata, sposto.
Il testo mi appare un po' confuso. Io l'ho interpretato come una semicirconferenza di diametro AB=2. Noto inoltre che si parla di un punto K che poi non viene utilizzato nel seguito.
Per trovare il massimo richiesto puoi fare anche così. Hai che:
\(\displaystyle (AP+BP)^2=AP^2+BP^2+2\cdot AP\cdot BP=4+4\cdot(\frac{1}{2} AP\cdot BP)=4+4S\)
dove S è l'area della superficie di ABP. E' allora chiaro che il massimo di AP+BP si ha quando è massima
l'area S. Se prendiamo come base di ABP il diametro AB e come altezza corrispondente quella che parte da P, si vede subito che tale massimo si ha quando P è il punto medio della semicirconferenza ( \(\displaystyle AP=BP=\sqrt2 \))
perché è il punto più alto della semicirconferenza rispetto al diametro AB.
Per la seconda parte del problema conviene sceglier come asse x la retta di AB (orientata da A verso B), come origine O il punto medio di AB medesimo e come asse y la perpendicolare per O ad AB, orientata verso l'alto . In tal modo risulta :
\(\displaystyle A(-1,0),B(1,0), P(0,1) \)
Il polinomio di quarto grado richiesto, dovendo avere necessariamente due minimi (assoluti) in A e B ed un massimo(relativo) in P ( osserva la figura sottostante e te ne convincerai !), ha una radice doppia in \(\displaystyle x=-1 \) ed una, sempre doppia, in \(\displaystyle x=1 \).
Pertanto esso è del tipo :
\(\displaystyle y=k(x+1)^2(x-1)^2 \)
Imponendo che la curva corrispondente passi per \(\displaystyle P(0,1) \) si ha \(\displaystyle k=1 \) e dunque l'equazione della quartica richiesta è :
\(\displaystyle y=(x^2-1)^2 \)
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Per trovare il massimo richiesto puoi fare anche così. Hai che:
\(\displaystyle (AP+BP)^2=AP^2+BP^2+2\cdot AP\cdot BP=4+4\cdot(\frac{1}{2} AP\cdot BP)=4+4S\)
dove S è l'area della superficie di ABP. E' allora chiaro che il massimo di AP+BP si ha quando è massima
l'area S. Se prendiamo come base di ABP il diametro AB e come altezza corrispondente quella che parte da P, si vede subito che tale massimo si ha quando P è il punto medio della semicirconferenza ( \(\displaystyle AP=BP=\sqrt2 \))
perché è il punto più alto della semicirconferenza rispetto al diametro AB.
Per la seconda parte del problema conviene sceglier come asse x la retta di AB (orientata da A verso B), come origine O il punto medio di AB medesimo e come asse y la perpendicolare per O ad AB, orientata verso l'alto . In tal modo risulta :
\(\displaystyle A(-1,0),B(1,0), P(0,1) \)
Il polinomio di quarto grado richiesto, dovendo avere necessariamente due minimi (assoluti) in A e B ed un massimo(relativo) in P ( osserva la figura sottostante e te ne convincerai !), ha una radice doppia in \(\displaystyle x=-1 \) ed una, sempre doppia, in \(\displaystyle x=1 \).
Pertanto esso è del tipo :
\(\displaystyle y=k(x+1)^2(x-1)^2 \)
Imponendo che la curva corrispondente passi per \(\displaystyle P(0,1) \) si ha \(\displaystyle k=1 \) e dunque l'equazione della quartica richiesta è :
\(\displaystyle y=(x^2-1)^2 \)
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Grazie infinite.
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