Curva piana e torsione
Ciao a tutti!
Come faccio a stabilire se questa curva è piana? $\alpha (t)= (e^t cos(t),e^t sin(t), e^t)$
Il procedimento generale lo so fare (sostituirlo in un piano generico ecc ecc) ma non lo riesco ad applicare a questa curva.
Quello che voglio fare in realtà è trovare la torsione ma non riesco a farlo e pensavo che potesse essere 0 e per dimostrarlo volevo trovare il piano che contenesse la curva.
ho anche trovato una riparametrizzazione della curva tale che abbia velocità unitaria:
$x(s)=(\frac{s}{\sqrt{3}}+1)cos[log(\frac{s}{\sqrt{3}}+1)]$
$y(s)=(\frac{s}{\sqrt{3}}+1)sin[log(\frac{s}{\sqrt{3}}+1)]$
$z(s)=(\frac{s}{\sqrt{3}}+1)$
Come faccio a stabilire se questa curva è piana? $\alpha (t)= (e^t cos(t),e^t sin(t), e^t)$
Il procedimento generale lo so fare (sostituirlo in un piano generico ecc ecc) ma non lo riesco ad applicare a questa curva.
Quello che voglio fare in realtà è trovare la torsione ma non riesco a farlo e pensavo che potesse essere 0 e per dimostrarlo volevo trovare il piano che contenesse la curva.
ho anche trovato una riparametrizzazione della curva tale che abbia velocità unitaria:
$x(s)=(\frac{s}{\sqrt{3}}+1)cos[log(\frac{s}{\sqrt{3}}+1)]$
$y(s)=(\frac{s}{\sqrt{3}}+1)sin[log(\frac{s}{\sqrt{3}}+1)]$
$z(s)=(\frac{s}{\sqrt{3}}+1)$
Risposte
Si vede subito cosa succede: hai provato a disegnare la curva?
Prendi quattro punti a caso, diciamo quelli corrispondenti a $t=0,pi/2,pi,3/2pi$: ti sembra giacciano sullo stesso piano?
Prendi quattro punti a caso, diciamo quelli corrispondenti a $t=0,pi/2,pi,3/2pi$: ti sembra giacciano sullo stesso piano?
Chiaramente no. Bene, perciò non è una curva piana, come faccio a trovare la torsione?
Per la torsione basta applicare la formula...
\[
\tau=\frac{(\alpha '\times \alpha '')\cdot \alpha '''}{|\alpha '\times \alpha ''|^2}
\]
La complessità dell'espressione dei vettori $\alpha '(t), \alpha ''(t), \alpha '''(t)$ dovrebbe farti pensare ad un'altra strada come quella proposta da gugo oppure prendi tre punti della curva e il piano individuato da essi e provi a verificare che le coordinate della curva soddisfano l'equazione del piano trovato per ogni $t$ (questo se non vuoi rischiare di trovare quattro punti fortunati che stanno sullo stesso piano senza che la curva sia planare).
\[
\tau=\frac{(\alpha '\times \alpha '')\cdot \alpha '''}{|\alpha '\times \alpha ''|^2}
\]
La complessità dell'espressione dei vettori $\alpha '(t), \alpha ''(t), \alpha '''(t)$ dovrebbe farti pensare ad un'altra strada come quella proposta da gugo oppure prendi tre punti della curva e il piano individuato da essi e provi a verificare che le coordinate della curva soddisfano l'equazione del piano trovato per ogni $t$ (questo se non vuoi rischiare di trovare quattro punti fortunati che stanno sullo stesso piano senza che la curva sia planare).
Si ok, ma il mio esercizio mi chiede di trovare la torsione... questo implica che devo fare tutti quei calcoli?
Se si, mi conviene farlo con la curva $\alpha (t)$ data oppure con la riparametrizzazione di velocità unitaria? Il prodotto vettoriale tra quella roba mi spaventa un bel po'...
Se si, mi conviene farlo con la curva $\alpha (t)$ data oppure con la riparametrizzazione di velocità unitaria? Il prodotto vettoriale tra quella roba mi spaventa un bel po'...
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