Curva nel piano affine: asintoto e eq. parametrica
ciao!
un esercizio che non riesco a fare:
sia $C:y^2+2x^2y-2x^3y+x^4=0$ una curva del piano affine complesso.
determinare l'asintoto.
verificare che C è razionale e scrivere una equazione parametrica per essa.
per l'asintoto dovrei trovare i punti impropri e determinare le rispettive tangenti?
un esercizio che non riesco a fare:
sia $C:y^2+2x^2y-2x^3y+x^4=0$ una curva del piano affine complesso.
determinare l'asintoto.
verificare che C è razionale e scrivere una equazione parametrica per essa.
per l'asintoto dovrei trovare i punti impropri e determinare le rispettive tangenti?
Risposte
"marixg":
per l'asintoto dovrei trovare i punti impropri e determinare le rispettive tangenti?
Sì, devi
1) determinare i punti impropri
2) traslare nell'origine mediante una sostituzione
3) determinare la tangente (ovvero prendere la parte di grado minore del polinomio ottenuto)
ho svolto i calcoli omogeinizzando $f$ ho ottenuto
$y^2z^2+2x^2yz-2x^3y+x^4$
e poi intersecando con $z=0$ ${(x^3(x-2y)=0), (z=0):}$ la cui soluzione è $P(0,0,0)$ e $Q(2,1,0)$ giusto?
adesso devo traslare il punto $Q$ che ho trovato in $O=(0,0,0)$ per trovare la tangente alla curva in quel punto.. ma come si fa?
invece il punto $P$ coincide già con l'origine e l'eq della tangente è $y^2=0$ giusto?
$y^2z^2+2x^2yz-2x^3y+x^4$
e poi intersecando con $z=0$ ${(x^3(x-2y)=0), (z=0):}$ la cui soluzione è $P(0,0,0)$ e $Q(2,1,0)$ giusto?
adesso devo traslare il punto $Q$ che ho trovato in $O=(0,0,0)$ per trovare la tangente alla curva in quel punto.. ma come si fa?
invece il punto $P$ coincide già con l'origine e l'eq della tangente è $y^2=0$ giusto?
"marixg":
ho svolto i calcoli omogeinizzando $f$ ho ottenuto
$y^2z^2+2x^2yz-2x^3y+x^4$
e poi intersecando con $z=0$ ${(x^3(x-2y)=0), (z=0):}$ la cui soluzione è $P(0,0,0)$ e $Q(2,1,0)$ giusto?
adesso devo traslare il punto $Q$ che ho trovato in $O=(0,0,0)$ per trovare la tangente alla curva in quel punto.. ma come si fa?
invece il punto $P$ coincide già con l'origine e l'eq della tangente è $y^2=0$ giusto?
Sei sicura che la soluzione di
$ {(x^3(x-2y)=0), (z=0):} $
sia il punto $[0,0,0]$ e non sia, invece, $[0,\alpha,0]$ ($\alpha$ qualsiasi...)?
hai ragione
devo dare ad alfa un valore?
devo dare ad alfa un valore?
"marixg":
hai ragione
devo dare ad alfa un valore?
No, hai ottenuto una retta.
e quindi come si procede?
l'unico asintoto quindi è quello nel punto $O$
cioè: $y^2=0$ ?
cioè: $y^2=0$ ?
Si può porre $alpha=1$ e quindi alla fine i punti impropri della quartica C sono:
$Y_{infty}(0,1,0) , R(2,1,0)$
Poiché nell'equazione "omogeneizzata" mancano i termini in y di grado superiore a 2 segue che il complesso tangente a C in $Y_{infty}$ è dato dal coefficiente di $y^2$ eguagliato a zero. Nel nostro caso è: $z^2=0$ e dunque si riduce alla retta impropria del piano di C contata due volte. Delle 4 intersezioni con C della retta z=0 3 si concentrano in $Y_{infty}$ e quindi $Y_{infty}(0,1,0)$ è una cuspide ordinaria ( e conta come un solo punto doppio).L'equazione dell'asintoto relativo al punto $R(2,1,0) $ è $x-2y+1=0$. Nell'equazione di C mancano anche i termini di grado inferiore a 2 e dunque il punto origine $O(0,0,1) $ è un altro punto doppio con complesso tangente pari a $y^2=0$. Il complesso tangente in O si riduce dunque alla sola retta $y=0 $ contata due volte e le sue intersezioni con C sono 4 e tutte concentrate in O. pertanto l'origine O è un tacnodo e conta come due punti doppi. In totale abbiamo 3 punti doppi che è il massimo consentito per una quartica. Pertanto la nostra curva C è razionale. Per trovare le equazioni parametriche di C occorre costruire le curve "aggiunte " che sono le curve di ordine $n-2$ che passano per i punti multipli di C ciascuno considerato con molteplicità pari alla propria molteplicità diminuita di 1. Nel nostro caso le curve aggiunte sono di ordine 4-2=2 e sono quindi coniche passanti per $Y_{infty}(0,1,0)$, per $O(0,0,1)$ ed aventi in quest'ultimo punto la medesima tangente $y=0$. Tali aggiunte sono evidentemente parabole di equazioni $y=tx^2$.
Risolvendo il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}x^4-2x^3y+2x^2y+y^2=0\\y=tx^2\end{cases} \)
si ottengono le equazioni :
\(\displaystyle \begin{cases}x= \frac{(1+t)^2}{2t}\\y=\frac{(1+t)^4}{4t}\end{cases} \)
che sono le equazioni parametriche di C.
$Y_{infty}(0,1,0) , R(2,1,0)$
Poiché nell'equazione "omogeneizzata" mancano i termini in y di grado superiore a 2 segue che il complesso tangente a C in $Y_{infty}$ è dato dal coefficiente di $y^2$ eguagliato a zero. Nel nostro caso è: $z^2=0$ e dunque si riduce alla retta impropria del piano di C contata due volte. Delle 4 intersezioni con C della retta z=0 3 si concentrano in $Y_{infty}$ e quindi $Y_{infty}(0,1,0)$ è una cuspide ordinaria ( e conta come un solo punto doppio).L'equazione dell'asintoto relativo al punto $R(2,1,0) $ è $x-2y+1=0$. Nell'equazione di C mancano anche i termini di grado inferiore a 2 e dunque il punto origine $O(0,0,1) $ è un altro punto doppio con complesso tangente pari a $y^2=0$. Il complesso tangente in O si riduce dunque alla sola retta $y=0 $ contata due volte e le sue intersezioni con C sono 4 e tutte concentrate in O. pertanto l'origine O è un tacnodo e conta come due punti doppi. In totale abbiamo 3 punti doppi che è il massimo consentito per una quartica. Pertanto la nostra curva C è razionale. Per trovare le equazioni parametriche di C occorre costruire le curve "aggiunte " che sono le curve di ordine $n-2$ che passano per i punti multipli di C ciascuno considerato con molteplicità pari alla propria molteplicità diminuita di 1. Nel nostro caso le curve aggiunte sono di ordine 4-2=2 e sono quindi coniche passanti per $Y_{infty}(0,1,0)$, per $O(0,0,1)$ ed aventi in quest'ultimo punto la medesima tangente $y=0$. Tali aggiunte sono evidentemente parabole di equazioni $y=tx^2$.
Risolvendo il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}x^4-2x^3y+2x^2y+y^2=0\\y=tx^2\end{cases} \)
si ottengono le equazioni :
\(\displaystyle \begin{cases}x= \frac{(1+t)^2}{2t}\\y=\frac{(1+t)^4}{4t}\end{cases} \)
che sono le equazioni parametriche di C.
non ho capito il motivo per cui prima dici che il complesso tangente a C è $y^2=0$ e poi nel nostro caso è $z^2=0$.
Su tratta regole note ( che forse varrebbe la pena di rivedere...) a cui ho già accennato e che comunque ripeto. I punti che ho considerato sono due ( non l'hai notato ? 
) : l'origine O ed il punto improprio $Y_{infty}$
Per il primo vale la regole che il complesso tangente è dato dall'insieme dei termini di grado più basso eguagliato a zero. Nel nostro caso tale complessso è $y^2$ e quindi si ha l'equazione $y^2=0$. In $Y_{infty}$ vale la regola che il complessso tangente si ottiene annullando il coefficiente della "y" di grado più elevato che compare nell'equazione di C opportunamente "omogeneizzata". Nel nostro caso tale coefficiente è $z^2$ e quindi l'equazione del complesso tangente a C in $Y_{infty}$ è appunto $z^2=0$...
) : l'origine O ed il punto improprio $Y_{infty}$Per il primo vale la regole che il complesso tangente è dato dall'insieme dei termini di grado più basso eguagliato a zero. Nel nostro caso tale complessso è $y^2$ e quindi si ha l'equazione $y^2=0$. In $Y_{infty}$ vale la regola che il complessso tangente si ottiene annullando il coefficiente della "y" di grado più elevato che compare nell'equazione di C opportunamente "omogeneizzata". Nel nostro caso tale coefficiente è $z^2$ e quindi l'equazione del complesso tangente a C in $Y_{infty}$ è appunto $z^2=0$...
ok:D
ora ho capito...non sapevo che In $Y_∞$ vale la regola che il complessso tangente si ottiene annullando il coefficiente della $"y"$ di grado più elevato che compare nell'equazione di C opportunamente "omogeneizzata
ora ho capito...non sapevo che In $Y_∞$ vale la regola che il complessso tangente si ottiene annullando il coefficiente della $"y"$ di grado più elevato che compare nell'equazione di C opportunamente "omogeneizzata
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