Curva

[vivianalabarba]

Data la curva x^2-2√(2 )xy=2 devo determinare, mediante una trasformazione degli assi di riferimento, le nuove coordinate (u,v) per ottenere l'equazione della curva senza termini misti. Indicare inoltre il tipo di curva.

Qualcuno mi aiuta...?

[gugo82]

"La_Vivianita":Data la curva $x^2-2sqrt(2)xy=2$ devo determinare, mediante una trasformazione degli assi di riferimento, le nuove coordinate (u,v) per ottenere l'equazione della curva senza termini misti. Indicare inoltre il tipo di curva.

Qualcuno mi aiuta...?

Completa il quadrato al primo membro (basta aggiungere e sottrarre un multiplo di $y^2$); fatto ciò ti basta applicare una trasformazione lineare delle coordinate, che è ovvia e suggerita dalla "forma" stessa del nuovo primo membro.

Ad occhio e croce direi che vien fuori un'iperbole...


P.S.: Per scrivere le formule in una maniera carina leggiti questa breve guida.

[elli2]

puoi anche utilizzare le formule della rotazione degli assi cartesiani ,per poi imporre che sia nullo il coefficiente del termine misto xy in modo da trovare l'angolo della rotazione. Sostituendo poi questo nella trasformata ottieni l'equazione canonica della curva e scopri quale conica essa rappresenta.

[franced]

"Gugo82":[quote="La_Vivianita"]Data la curva $x^2-2sqrt(2)xy=2$ devo determinare, mediante una trasformazione degli assi di riferimento, le nuove coordinate (u,v) per ottenere l'equazione della curva senza termini misti. Indicare inoltre il tipo di curva.

Qualcuno mi aiuta...?

Completa il quadrato al primo membro (basta aggiungere e sottrarre un multiplo di $y^2$); fatto ciò ti basta applicare una trasformazione lineare delle coordinate, che è ovvia e suggerita dalla "forma" stessa del nuovo primo membro.

Ad occhio e croce direi che vien fuori un'iperbole...

[/quote]

Si può fare anche senza completamento del quadrato:

metti in evidenza la $x$ ed ottieni:

$x(x - 2 sqrt(2)y) = 2$

Con la trasformazione delle coordinate:

$X = x$

$Y = x - 2 sqrt(2)y$

si trova l'equazione

$X \cdot Y = 2$

che è un'iperbole.

Ma attenzione: visto che la trasformazione considerata è un'affinità e non un'isometria,
non possiamo affermare che si tratta di un'iperbole equilatera.
Si tratta di un'iperbole.

L'esercizio chiedeva una risoluzione senza i termini misti.
Io ho fatto il contrario..