Curiosità su una rotazione tra rette
Sbirciando un pò di esercizi ho visto questo:
Rappresentare la superfice ottenuta facendo ruotare la retta dei punti $A$ e $B$ attorno a quelli dei punti $B$ e $C$
Una volta trovate le equazioni cartesiane delle rette per quei punti, cosa dovrei fare? Fare una combinazione lineare?
Non ho mai sentito parlare in classe di *ruotare* una retta intorno ad un altra retta.
A cosa dovrei pensare?
Rappresentare la superfice ottenuta facendo ruotare la retta dei punti $A$ e $B$ attorno a quelli dei punti $B$ e $C$
Una volta trovate le equazioni cartesiane delle rette per quei punti, cosa dovrei fare? Fare una combinazione lineare?
Non ho mai sentito parlare in classe di *ruotare* una retta intorno ad un altra retta.
A cosa dovrei pensare?
Risposte
La superficie richiesta è ovviamente quella di un cono. Per ottenerla devi prendere l'equazione parametrica della retta che viene ruotata e applicare a queste equazioni la rotazione intorno all'altra retta. Non sapendo quale siano le tue conoscenze non so quale strada sia meglio affrontare (hai per esempio idea di come sia definita la rotazione intorno ad una retta?). Cercherò comunque di delineare una possibile soluzione.
Per prima cosa definisco la trasformazione affine. Sia $v = (C - B)/(||C - B||)$ il vettore direzione dell'asse di rotazione (quello definito da $B$ e $C$). A questo punto la trasformazione affine è data da una traslazione di $-b = O - B$ (che porta il punto $B$ nell'origine) seguita da una rotazione di angolo $\theta$ intorno all'asse $v$ e infine una traslazione di $b = B - O$ in modo da riportare $B$ nella posizione originale. Sia quindi $R_{\theta}$ questa trasformazione. La retta da $A$ a $B$ è definita dall'equazione vettoriale $(1 - t)A + tB$ e quindi la superficie finale è
$R_{\theta}((1 - t)A + tB) = (1 - t) R_{\theta}(A) + t B$
$R_{\theta}$ si può rappresentare con le matrici ma è più facile descriverlo usando i quaternioni. Se non hai alcuna conoscenza sui quaternioni sentiti pure libero di saltare questa parte.
Se $q_{\theta} = cos(\theta/2) + sin(theta/2)v$ il quaternione unitario che rappresenta la rotazione intorno all'asse $v$, allora
$R_{\theta}(x) = q_{\theta}(x - b)q_{\theta}^{-1} + b$
L'equazione della superficie usando i quaternioni è quindi (se non ho sbagliato i calcoli) $(1 - t)*(q_{\theta}(A - B)q_{\theta}^{-1} + B) + t B = (1 - t)(q_{\theta}(A - B)q_{\theta}^{-1}) + B$
Per prima cosa definisco la trasformazione affine. Sia $v = (C - B)/(||C - B||)$ il vettore direzione dell'asse di rotazione (quello definito da $B$ e $C$). A questo punto la trasformazione affine è data da una traslazione di $-b = O - B$ (che porta il punto $B$ nell'origine) seguita da una rotazione di angolo $\theta$ intorno all'asse $v$ e infine una traslazione di $b = B - O$ in modo da riportare $B$ nella posizione originale. Sia quindi $R_{\theta}$ questa trasformazione. La retta da $A$ a $B$ è definita dall'equazione vettoriale $(1 - t)A + tB$ e quindi la superficie finale è
$R_{\theta}((1 - t)A + tB) = (1 - t) R_{\theta}(A) + t B$
$R_{\theta}$ si può rappresentare con le matrici ma è più facile descriverlo usando i quaternioni. Se non hai alcuna conoscenza sui quaternioni sentiti pure libero di saltare questa parte.
Se $q_{\theta} = cos(\theta/2) + sin(theta/2)v$ il quaternione unitario che rappresenta la rotazione intorno all'asse $v$, allora
$R_{\theta}(x) = q_{\theta}(x - b)q_{\theta}^{-1} + b$
L'equazione della superficie usando i quaternioni è quindi (se non ho sbagliato i calcoli) $(1 - t)*(q_{\theta}(A - B)q_{\theta}^{-1} + B) + t B = (1 - t)(q_{\theta}(A - B)q_{\theta}^{-1}) + B$
"apatriarca":
La superficie richiesta è ovviamente quella di un cono.
Possibilmente degenere in un piano, aggiungerei.
"gugo82":
[quote="apatriarca"]La superficie richiesta è ovviamente quella di un cono.
Possibilmente degenere in un piano, aggiungerei.[/quote]
Sì, certo. Quando le due rette sono perpendicolari la superficie diventa un piano, anche se nell'equazione che ho scritto non appare evidente.
"clever":
Rappresentare la superfice ottenuta facendo ruotare la retta dei punti $A$ e $B$ attorno a quelli dei punti $B$ e $C$
Guarda qui:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... _daddi.pdf
Grazie a tutti, e anche a te france.d trovo molto utili i tuoi esempi
Prego!
Buon anno a tutti!!
Buon anno a tutti!!
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