[Curiosità] Parabola
Ho un dubbio sulla parabola.
Qual è l'andamento dei rami della parabola all'infinito?
I due rami tendono a diventare paralleli all'asse? Tendono ad allargarsi sempre di più? Tendono a restringersi?
La terza ipotesi la escluderei, perchè immaginandomi la parabola come sezione conica mi viene da pensare che c'è un allargamento infinito. Però c'è un punto posto all'infinito in cui i rami diventano paralleli all'asse?
Se i due rami della parabola si allargassero all'infinito, com'è possibile che una retta passante per il fuoco e con coefficiente angolare quasi tendente a infinito riesca a intersecare una parabola con asse parallelo all'asse y in due punti?
Qual è l'andamento dei rami della parabola all'infinito?
I due rami tendono a diventare paralleli all'asse? Tendono ad allargarsi sempre di più? Tendono a restringersi?
La terza ipotesi la escluderei, perchè immaginandomi la parabola come sezione conica mi viene da pensare che c'è un allargamento infinito. Però c'è un punto posto all'infinito in cui i rami diventano paralleli all'asse?
Se i due rami della parabola si allargassero all'infinito, com'è possibile che una retta passante per il fuoco e con coefficiente angolare quasi tendente a infinito riesca a intersecare una parabola con asse parallelo all'asse y in due punti?
Risposte
I rami della parabola all'infinito tendono all'infinito "allargandosi". Inoltre (puoi facilmente calcolarlo) non hanno asintoto obliquo.
Paola
Paola
Grazie per la risposta. In effetti cambiando approccio e immaginandomi un cono l'avevo immaginato un allargamento. Però ora non riesco a spiegarmi come può una retta con coefficiente angolare tendente al coefficiente angolare dell'asse intersecare la parabola in due punti.
Per coefficiente tendente all'infinito intendi coefficiente molto grande ma fisso giusto? In questo caso intersecherà la parabola mooolto in là, ma lo farà.
Paola
Paola
Il fatto è che (non riuscendo a concepire la parabola interamente), mi sono immaginato che con l'aumentare delle ordinate, la distanza di un punto appartenente al ramo della parabola e un punto appartenente alla retta con la stessa ordinata del primo punto, dovrebbe essere sempre maggiore, a meno che ci sarà un punto posto all'infinito in cui i rami tendono ad allargarsi di pochissimo e quindi possono essere raggiunti dalla retta.
Qunado parlo di retta faccio riferimento alla retta descritta sopra.
Qunado parlo di retta faccio riferimento alla retta descritta sopra.
Aspetta. Se la retta è verticale e la parabola ha asse parallelo all'asse y, allora chiaramente esse si intersecano in un solo punto.
Se invece la tua retta è della forma $y=Mx +q$ con $M$ molto grande, la intersecherà in due punti.
Paola
Se invece la tua retta è della forma $y=Mx +q$ con $M$ molto grande, la intersecherà in due punti.
Paola
Non so se si può parlare di coefficienti angolari dei rami della parabola, ma in caso affermativo, ci sarà un punto in cui il coefficiente dei rami è ancora più grande di $M$ della retta?
Coefficiente dei rami non esiste, no 
... Ma volendo possiamo pensare una cosa tipo:
se $y=Mx+q$ è la tua retta con $M$ grande e $y=ax^2 + bx+c,a>0$ è la parabola, calcolando il limite
$\lim_{x\to\infty}(ax^2 + bx +c)/(Mx+q)$ puoi vedere quale delle due "vince" e va più rapidamente all'infinito (cioè vero l'alto). Il limite chiaramente fa $+\infty$, quindi la parabola cresce più rapidamente della retta, per cui ad un certo punto dovrà "superarla". Quel punto è l'intersezione che non riesci a immaginare.
Paola
... Ma volendo possiamo pensare una cosa tipo:se $y=Mx+q$ è la tua retta con $M$ grande e $y=ax^2 + bx+c,a>0$ è la parabola, calcolando il limite
$\lim_{x\to\infty}(ax^2 + bx +c)/(Mx+q)$ puoi vedere quale delle due "vince" e va più rapidamente all'infinito (cioè vero l'alto). Il limite chiaramente fa $+\infty$, quindi la parabola cresce più rapidamente della retta, per cui ad un certo punto dovrà "superarla". Quel punto è l'intersezione che non riesci a immaginare.
Paola
Un'altra cosa che si può notare è questa: se metti a sistema la parabola e la retta generiche, ottieni che le soluzioni sono
$x_{1,2}=\frac{M-b \pm \sqrt{(b-M)^2 -4a(c-q)}}{2a}$ (supponiamo che il discriminante sia positivo)
Se noti, una delle due soluzioni (quella con il +), più $M$ è grande, più cresce. Quindi più "impenni" la tua retta, più grande sarà l'ascissa dove incrocia la tua parabola... ma comunque c'è soluzione, quindi si intersecano.
Paola
$x_{1,2}=\frac{M-b \pm \sqrt{(b-M)^2 -4a(c-q)}}{2a}$ (supponiamo che il discriminante sia positivo)
Se noti, una delle due soluzioni (quella con il +), più $M$ è grande, più cresce. Quindi più "impenni" la tua retta, più grande sarà l'ascissa dove incrocia la tua parabola... ma comunque c'è soluzione, quindi si intersecano.
Paola
Ah ok grazie 1000.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo