Cubica gobba
Salve a tutti, ho qualche difficolta' con il seguente problema di geometria algebrica:
Si assuma che $k$ sia un campo qualsiasi. Sia $C$ la curva affine "spaziale" parametrizzata dalle equazioni $(t,t^2,t^3)$ con $t\in k$; dimostrare che $C$ e' un insieme algebrico affine, trovare l'ideale $I(C)$ e dimostrare che l'algebra affine $\Gamma(C)=\frac{k[X,Y,Z]}{I(C)}$ e' isomorfa all'anello di polinomi in una variabile $k[X]$.
Sono riuscito a trovare una soluzione solo nel caso in cui $k$ e' un campo infinito:
Chiaramente $C$ e' un insieme algebrico affine, infatti $C=V(X^3-Z, X^2-Y)$ ed e' ovvio che $\subseteq I(C)$. Per quanto riguarda il "contenimento opposto", sia $f\in I(C)$ allora dividendo $f$ per $X^3-Z$ rispetto alla variabile $Z$ e poi dividendo il resto (che e' un polinomio nelle sole variabili $X$ e $Y$) per $X^2-Y$ rispetto alla variabile $Y$ si ottiene:
$f=(X^3-Z)q(X,Y,Z)+(X^2-Y)p(X,Y)+r(X)$
Valutando il tutto in $(t,t^2,t^3)$ segue che $r(t)=0$ per ogni $t\in k$. Siccome $k$ e' INFINITO allora $r$ e' il polinomio nullo; si conclude quindi che $ =I(C)$. Il resto dell'esercizio segue senza problemi visto che $(t,t^2,t^3)$ e' un isomorfismo di insiemi algebrici affini tra $k$ e $C$.
Il problema e' dunque riuscire a trovare $I(C)$ nel caso in cui $k$ e' un campo finito.
spero di essermi spiegato bene, grazie.
Si assuma che $k$ sia un campo qualsiasi. Sia $C$ la curva affine "spaziale" parametrizzata dalle equazioni $(t,t^2,t^3)$ con $t\in k$; dimostrare che $C$ e' un insieme algebrico affine, trovare l'ideale $I(C)$ e dimostrare che l'algebra affine $\Gamma(C)=\frac{k[X,Y,Z]}{I(C)}$ e' isomorfa all'anello di polinomi in una variabile $k[X]$.
Sono riuscito a trovare una soluzione solo nel caso in cui $k$ e' un campo infinito:
Chiaramente $C$ e' un insieme algebrico affine, infatti $C=V(X^3-Z, X^2-Y)$ ed e' ovvio che $
$f=(X^3-Z)q(X,Y,Z)+(X^2-Y)p(X,Y)+r(X)$
Valutando il tutto in $(t,t^2,t^3)$ segue che $r(t)=0$ per ogni $t\in k$. Siccome $k$ e' INFINITO allora $r$ e' il polinomio nullo; si conclude quindi che $
Il problema e' dunque riuscire a trovare $I(C)$ nel caso in cui $k$ e' un campo finito.
spero di essermi spiegato bene, grazie.
Risposte
Dato che potrebbe tornare utile ad altri, preferisco indicare la via per risolvere elegantemente questo esercizio!
Considerata l'applicazione \(\varphi:\mathbb{K}[x;y;z]\to\mathbb{K}[t]\) tale che \(\varphi(x)=t;\varphi(y)=t^2;\varphi(z)=t^3\), estendendola per \(\mathbb{K}\)-linearità si ottiene quanto richiesto dall'esercizio!
Considerata l'applicazione \(\varphi:\mathbb{K}[x;y;z]\to\mathbb{K}[t]\) tale che \(\varphi(x)=t;\varphi(y)=t^2;\varphi(z)=t^3\), estendendola per \(\mathbb{K}\)-linearità si ottiene quanto richiesto dall'esercizio!
Per un campo finito, la soluzione e' diversa.
Se $k$ ha $q$ elementi, l'ideale $I(C)$ e' $(X^2-Y, X^3-Z, X^q-X)$
e l'algebra $\Gamma(C)$ e' isomorfo a $k[X]$/$(X^q-X)$.
Infatti, basta modificare l'argomento di @Galoisfan un po'.
Il fatto che il suo resto $r(X)$ si annulla sul campo finito $k$
non implica che $r=0$, ma vuol esattamente dire
che $X^q-X$ divide $r(X)$ e ci siamo.
Se $k$ ha $q$ elementi, l'ideale $I(C)$ e' $(X^2-Y, X^3-Z, X^q-X)$
e l'algebra $\Gamma(C)$ e' isomorfo a $k[X]$/$(X^q-X)$.
Infatti, basta modificare l'argomento di @Galoisfan un po'.
Il fatto che il suo resto $r(X)$ si annulla sul campo finito $k$
non implica che $r=0$, ma vuol esattamente dire
che $X^q-X$ divide $r(X)$ e ci siamo.
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