Cubica cuspidale
Salve a tutti, espongo il problema.
Sia $k$ un campo infinito e si consideri l'insieme algebrico affine $V(Y^2-X^3)\subseteq\mathbb{A}^2_k$; la funzione $\varphi: k\rightarrow V(Y^2-X^3)$ tale che $\varphi(t)=(t^2,t^3)$ e' un morfismo nella categoria $k$-Aff degli insiemi algebrici affini. Ora si dimostra che tale morfismo e' iniettivo ma non suriettivo, e nella comprensione della dimostrazione non ho problemi. Se considero lo stesso esempio ponendo $k=\mathbb R$, non riesco a visualizzare la non suriettivita' della funzione $\varphi$, ovvero non riesco a trovare un punto della cubica che NON appartiene all'immagine della funzione $\varphi$. Ho la sensazione che c'entri qualcosa la cuspide in $(0,0)$ ma non ne vengo a capo.
Sia $k$ un campo infinito e si consideri l'insieme algebrico affine $V(Y^2-X^3)\subseteq\mathbb{A}^2_k$; la funzione $\varphi: k\rightarrow V(Y^2-X^3)$ tale che $\varphi(t)=(t^2,t^3)$ e' un morfismo nella categoria $k$-Aff degli insiemi algebrici affini. Ora si dimostra che tale morfismo e' iniettivo ma non suriettivo, e nella comprensione della dimostrazione non ho problemi. Se considero lo stesso esempio ponendo $k=\mathbb R$, non riesco a visualizzare la non suriettivita' della funzione $\varphi$, ovvero non riesco a trovare un punto della cubica che NON appartiene all'immagine della funzione $\varphi$. Ho la sensazione che c'entri qualcosa la cuspide in $(0,0)$ ma non ne vengo a capo.
Risposte
Ascolta... quello che hai detto ha una falla enorme. Se [tex]k[/tex] è algebricamente chiuso la [tex]\varphi[/tex] è biunivoca, se vuoi te lo dimostro.
Non è però mai un isomorfismo, questo sì. Ma, ti pregherei di notare, che nella categoria degli insiemi algebrici affini su [tex]k[/tex] isomorfismo non è sinonimo di "iniettivo e suriettivo". Infatti, questa categoria non è bilanciata.
Non è però mai un isomorfismo, questo sì. Ma, ti pregherei di notare, che nella categoria degli insiemi algebrici affini su [tex]k[/tex] isomorfismo non è sinonimo di "iniettivo e suriettivo". Infatti, questa categoria non è bilanciata.
Hai perfettamente ragione. L'inversa come funzione esiste, ma non e' un morfismo.
Grazie mille
Grazie mille
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