Criterio di diagonalizzabilità

[Giuly191]

Data la seguente matrice:
$ |{: ( 5 , 4 , 3 ),( -1 , 0 , -3 ),( 1 , -2 , 1 ) :}| $
ho calcolato il suo polinomio caratteristico che risulta essere $P(x)=(x+2)(x-4)^2.
Quindi ho che la molteplicità algebrica dell'autovalore $-2$ è $1$, mentre quella dell'autovalore $4$ è $2$.
A questo punto sottraggo ad ogni elemento sulla diagonale della matrice prima un autovalore e poi l'altro.
Ottengo che in entrambi i casi le matrici che ne risultano hanno rango 2, quindi (siccome la dimensione di entrambi gli autospazi è 1) la molteplicità geometrica di entrambi gli autovalori è 1 (di questo vorrei avere conferma).
Posso concludere che la matrice non è diagonalizzabile?

[Sk_Anonymous]

Dopo verifica, confermo.

[_prime_number]

Ricorda che molteplicità algebrica 1 implica molteplicità geometrica 1, quindi nel caso del valore -2 potevi già concludere che il suo autospazio aveva dimensione 1.
L'autospazio relativo a 4 è
$Ker (A-4I)$
dunque bisogna risolvere il sistema lineare
$((1,4,3),(-1,-4,-3),(1,-2,-3))((x_1),(x_2),(x_3))=((0),(0),(0))$
La matrice di questo sistema ha rango 2, quindi il sistema è indeterminato con $\infty^1$ soluzioni, che significa che la dimensione dell'autospazio di $4$ è 1 e non 2 come speravamo.
La matrice non è diagonalizzabile.

Paola

[Giuly191]

Giusto, grazie del consiglio, lo avevo letto ma spesso ci si dimentica quando è il momento di applicare certe proposizioni!
Grazie a tutti e due!