Criteri per decidere se $S sub T$
Salve a tutti ragazzi,
il prof durante il corso ci ha dato il seguente criterio:
Dati due spazi vettoriali $S = Span({\alpha_1,...,\alpha_n})$ $T = Span{(\beta_1,...,\beta_n)}$ si ha che:
$S sub T hArr \forall i, \alpha_i$ è combinazione lineare di $\beta_1,...,\beta_n$
La dimostrazione però non l'ha fatta. Ho provato a farla io, potreste dirmi se è corretta?
i) $S sub T rarr \forall i, \alpha_i$ è combinazione lineare di $\beta_1,...,\beta_n$
Se $S sub T rarr \forall v in S, v in T rarr EE a_1,...,a_n$ e $b_1,...,b_n$ t.c. $v = a_1\alpha_1 + ... + a_n\alpha_n = b_1\beta_1 + ... +b_n\beta_n$
Preso quindi $v = \alpha_i$ generico si ottiene la tesi
ii) $\forall i, \alpha_i$ è combinazione lineare di $\beta_1,...,\beta_n rarr S sub T$
Preso $\alpha_i rarr EE b_(1,i),...,b_(n,i)$ t.c. $\alpha_i = b_(1,i)\beta_1 + ... + b_(n,i)\beta_n$
Quindi preso $gamma in S$ $EE a_1,...,a_n$ t.c. $gamma = a_1\alpha_1 + ... a_n\alpha_n = a_1(b_(1,1)\beta_1 +...+ b_(n,1)\beta_n) + ... + a_n(b_(n,1)\beta_1 + ... + b_(n,n)\beta_n) =$
$= c_1\beta_1 + ... + c_n\beta_n$
Dove $c_i = sum_(j = 1)^(n)(a_j cdot b_(j,i))$
E quindi la tesi.
Fila?
Perdonate i tanti indici! ahaha
Grazie in anticipo per le risposte!
Edit: Il prof ci aveva dato anche il criterio per l'uguaglianza, che è identico solo che vale che anche i generatori di T sono combinazione lineare dei generatori di S. Basta che faccio la dimostrazione partendo da T e dimostrando che se vale la relazione fra i generatori allora $T sub S$ ed ho dimostrato anche il criterio di uguaglianza no?
il prof durante il corso ci ha dato il seguente criterio:
Dati due spazi vettoriali $S = Span({\alpha_1,...,\alpha_n})$ $T = Span{(\beta_1,...,\beta_n)}$ si ha che:
$S sub T hArr \forall i, \alpha_i$ è combinazione lineare di $\beta_1,...,\beta_n$
La dimostrazione però non l'ha fatta. Ho provato a farla io, potreste dirmi se è corretta?
i) $S sub T rarr \forall i, \alpha_i$ è combinazione lineare di $\beta_1,...,\beta_n$
Se $S sub T rarr \forall v in S, v in T rarr EE a_1,...,a_n$ e $b_1,...,b_n$ t.c. $v = a_1\alpha_1 + ... + a_n\alpha_n = b_1\beta_1 + ... +b_n\beta_n$
Preso quindi $v = \alpha_i$ generico si ottiene la tesi
ii) $\forall i, \alpha_i$ è combinazione lineare di $\beta_1,...,\beta_n rarr S sub T$
Preso $\alpha_i rarr EE b_(1,i),...,b_(n,i)$ t.c. $\alpha_i = b_(1,i)\beta_1 + ... + b_(n,i)\beta_n$
Quindi preso $gamma in S$ $EE a_1,...,a_n$ t.c. $gamma = a_1\alpha_1 + ... a_n\alpha_n = a_1(b_(1,1)\beta_1 +...+ b_(n,1)\beta_n) + ... + a_n(b_(n,1)\beta_1 + ... + b_(n,n)\beta_n) =$
$= c_1\beta_1 + ... + c_n\beta_n$
Dove $c_i = sum_(j = 1)^(n)(a_j cdot b_(j,i))$
E quindi la tesi.
Fila?
Perdonate i tanti indici! ahaha
Grazie in anticipo per le risposte!
Edit: Il prof ci aveva dato anche il criterio per l'uguaglianza, che è identico solo che vale che anche i generatori di T sono combinazione lineare dei generatori di S. Basta che faccio la dimostrazione partendo da T e dimostrando che se vale la relazione fra i generatori allora $T sub S$ ed ho dimostrato anche il criterio di uguaglianza no?
Risposte
@Edex,
mmmm
l'enunciato è il seguente:
Ipotesi:
\(S = Span(\{\alpha_1,...,\alpha_n\})\)
\(T = Span\{(\beta_1,...,\beta_n)\}\)
Tesi:
\(S \subseteq T \leftrightarrow \forall i \in \{1,2,...,n\}(\alpha_i \in Span\{(\beta_1,...,\beta_n)\})\)
??
Saluti
P.S.=Se l'enunciato è quello allora è facile vedere/verificare il primo verso \( \to \), ovvero $$S=Span(\{\alpha_1,...,\alpha_n\}) \to \alpha_1,...,\alpha_n \in S$$ ma per ipotesi \( S \subseteq T \) e quindi $$ \alpha_1,...,\alpha_n \in T=Span\{(\beta_1,...,\beta_n)\} $$, per il secondo verso lo lascio a te
"Edex":
Salve a tutti ragazzi,
il prof durante il corso ci ha dato il seguente criterio:
Dati due spazi vettoriali $S = Span({\alpha_1,...,\alpha_n})$ $T = Span{(\beta_1,...,\beta_n)}$ si ha che:
$S sub T hArr \forall i, \alpha_i$ è combinazione lineare di $\beta_1,...,\beta_n$
La dimostrazione però non l'ha fatta. Ho provato a farla io, potreste dirmi se è corretta?
i) $S sub T rarr \forall i, \alpha_i$ è combinazione lineare di $\beta_1,...,\beta_n$
Se $S sub T rarr \forall v in S, v in T rarr EE a_1,...,a_n$ e $b_1,...,b_n$ t.c. $v = a_1\alpha_1 + ... + a_n\alpha_n = b_1\beta_1 + ... +b_n\beta_n$
Preso quindi $v = \alpha_i$ generico si ottiene la tesi
ii) $\forall i, \alpha_i$ è combinazione lineare di $\beta_1,...,\beta_n rarr S sub T$
Preso $\alpha_i rarr EE b_(1,i),...,b_(n,i)$ t.c. $\alpha_i = b_(1,i)\beta_1 + ... + b_(n,i)\beta_n$
Quindi preso $gamma in S$ $EE a_1,...,a_n$ t.c. $gamma = a_1\alpha_1 + ... a_n\alpha_n = a_1(b_(1,1)\beta_1 +...+ b_1(n,1)\beta_n) + ... + a_n(b_(n,1)\beta_1 + ... + b_(n,n)\beta_n) =$
$= c_1\beta_1 + ... + c_n\beta_n$
Dove $c_i = sum_(j = 1)^(n)(a_j cdot b_(j,i))$
E quindi la tesi.
Fila?
Perdonate i tanti indici! ahaha
Grazie in anticipo per le risposte!
Edit: Il prof ci aveva dato anche il criterio per l'uguaglianza, che è identico solo che vale che anche i generatori di T sono combinazione lineare dei generatori di S. Basta che faccio la dimostrazione partendo da T e dimostrando che se vale la relazione fra i generatori allora $T sub S$ ed ho dimostrato anche il criterio di uguaglianza no?
mmmm
l'enunciato è il seguente:Ipotesi:
\(S = Span(\{\alpha_1,...,\alpha_n\})\)
\(T = Span\{(\beta_1,...,\beta_n)\}\)
Tesi:
\(S \subseteq T \leftrightarrow \forall i \in \{1,2,...,n\}(\alpha_i \in Span\{(\beta_1,...,\beta_n)\})\)
??
Saluti
P.S.=Se l'enunciato è quello allora è facile vedere/verificare il primo verso \( \to \), ovvero $$S=Span(\{\alpha_1,...,\alpha_n\}) \to \alpha_1,...,\alpha_n \in S$$ ma per ipotesi \( S \subseteq T \) e quindi $$ \alpha_1,...,\alpha_n \in T=Span\{(\beta_1,...,\beta_n)\} $$, per il secondo verso lo lascio a te
"garnak.olegovitc":
@Edex,
Ipotesi:
\(S = Span(\{\alpha_1,...,\alpha_n\})\)
\(T = Span\{(\beta_1,...,\beta_n)\}\)
Tesi:
\(S \subseteq T \leftrightarrow \forall i \in \{1,2,...,n\}(\alpha_i \in Span\{(\beta_1,...,\beta_n)\})\)
Non è equivalente all'enunciato che ho dato io?
La dimostrazione che ho fatto nel punto due non va bene per dimostrare il secondo verso?
Grazie per l'aiuto!
@Edex,
Non è equivalente all'enunciato che ho dato io?
La dimostrazione che ho fatto nel punto due non va bene per dimostrare il secondo verso?
Grazie per l'aiuto![/quote]
io lo chiedo a te
... cmq si, è la stessa cosa e la tua dimostrazione funziona 
Saluti
"Edex":
[quote="garnak.olegovitc"]@Edex,
Ipotesi:
\(S = Span(\{\alpha_1,...,\alpha_n\})\)
\(T = Span\{(\beta_1,...,\beta_n)\}\)
Tesi:
\(S \subseteq T \leftrightarrow \forall i \in \{1,2,...,n\}(\alpha_i \in Span\{(\beta_1,...,\beta_n)\})\)
Non è equivalente all'enunciato che ho dato io?
La dimostrazione che ho fatto nel punto due non va bene per dimostrare il secondo verso?
Grazie per l'aiuto!
[/quote]io lo chiedo a te
... cmq si, è la stessa cosa e la tua dimostrazione funziona Saluti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo