Creare matrice rappresentativa dal nucleo

[quickz]

Ciao,
ho un esercizio di questo tipo:




Solo che quando applico la teoria ottengo:
f(x,y,z) = (x+y),(y+z),(2x+2z) con la base B=(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) (cioè B=(v1,v2,v3) solo che poi applicando f(v1),ecc ottengo: f(v1) = (2,1,2) f(v2) = (1,2,2) f(v3) = (1,1,2) dov'è che sbaglio a ragionare? L'avevo pensata così T(1,1,0) = (1,1,0) T(0,1,1) = (0,1,1) T(1,0,1) = (2,0,2), non capisco dove mi perdo, sto sovrapponendo le varie cosè? Cosa mi sfugge? Grazie, scusate l'ignoranza ma, ormai non capisco più niente delle matrici rappresentative..

[vict85]

Stai, penso, confondendo la matrice del cambiamento di base con la matrice associata alla funzione lineare.

[Bokonon]

Se noti l'applicazione f manda $f(1,0,1)=(2,0,2)=2*(1,0,1)$ quindi $(1,0,1)$ è l'autovettore di f rispetto all'autovalore 2.
Poi ti ha dato il nucleo di f, ovvero i due autovettori associati all'autovalore 0.
Quindi se prendiamo (opportunamente) come base di $R^3$ la base degli autovettori di f $ B={( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) ,( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ),( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )} $ allora la matrice associata ad f è la matrice diagonale degli autovalori.
Zero calcoli!

[quickz]

Ahn okay, scusa ancora ma a quel punto f(1,1,0) non è f(1,1,0) = 1*(1,1,0)? e quindi non dovrebbero essere entrambe associati all'autovalore 1?

[vict85]

Ma no \(f\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}\). Il testo dice che quei due vettori generano \(\ker f\).

[quickz]

Aaaaaa okay, grazie mille!! Gentilissimi, scusate ancora l'ignoranza!

[Bokonon]

Per trovare gli autovettori cerchi il $Ker(A-lambdaI)$
Se un autovalore è $lambda=0$ allora cerchi $Ker(A-0*I)=Ker(A)$
Quindi se ti danno il kernel di una matrice, sai per certo che sono autovettori associati all'autovalore 0