Crazione matrice rango n...
ciao a tutti!!!
ma se io volessi creare una matrice ad esempio $5xx4$ di rango 2 come dovrei procedere?
io ho pensato che mi creo una matrice di rango 2 ad esempio $A=((1,0),(1,1))$ e poi applico il teorema degli orlati costruendo appunto orlati nulli... può andare bene? o c'è qualche procedimento un po' più sbrigativo? perchè ho notato che così non è proprio semplice come procedimento...
aspetto vostre notizie e vi ringrazio anticipatamente...
ma se io volessi creare una matrice ad esempio $5xx4$ di rango 2 come dovrei procedere?
io ho pensato che mi creo una matrice di rango 2 ad esempio $A=((1,0),(1,1))$ e poi applico il teorema degli orlati costruendo appunto orlati nulli... può andare bene? o c'è qualche procedimento un po' più sbrigativo? perchè ho notato che così non è proprio semplice come procedimento...
aspetto vostre notizie e vi ringrazio anticipatamente...
Risposte
vabbè però così sarebbe banale...
Non tanto banale. Quelle nella forma che dice Sergio sono le matrici di rango $r$, nel senso che comunque tu prenda una matrice $A$ di dimensioni $n \times m$ e rango $r$, esistono due matrici invertibili $U$ e $V$ di dimensioni $n \times n$ e $m \times m$ tali che $UAV$ ha la forma che dice Sergio (nel seguito farò riferimento ad esse come alle "matrici di Sergio di rango $r$", non sapendo quale sia il loro vero nome 
).
Questo ti può suggerire una ricetta per costruire una matrice come quelle che vuoi tu: prendi una matrice di Sergio di rango $r$, genera due matrici invertibili $U, V$ a caso (Matlab ha un comando fatto apposta) e moltiplica a destra e a sinistra. Non solo otterrai una matrice di rango $r$ ma addirittura tutte le matrici di rango $r$ si possono ottenere così.
). Questo ti può suggerire una ricetta per costruire una matrice come quelle che vuoi tu: prendi una matrice di Sergio di rango $r$, genera due matrici invertibili $U, V$ a caso (Matlab ha un comando fatto apposta) e moltiplica a destra e a sinistra. Non solo otterrai una matrice di rango $r$ ma addirittura tutte le matrici di rango $r$ si possono ottenere così.
No, credo di stare facendo riferimento a qualcosa di più elementare e anche di piuttosto banalotto a confronto della teoria a cui pensi tu (della quale tra l'altro sono digiuno 
). E' una questione di rappresentazione delle applicazioni lineari (ma si può anche passare dall'algoritmo di Gauss-Jordan, come si fa sulle dispense di Cailotto):
Prop.: siano [tex]V^n[/tex] e [tex]W^m[/tex] due spazi vettoriali di dimensione finita [tex]n, m[/tex] e [tex]f\colon V \to W[/tex] una applicazione lineare di rango [tex]r[/tex] [size=75](*)[/size]. Allora esistono una base [tex]B=(b_1 \ldots b_n)[/tex] di [tex]V[/tex] e una base [tex]C=(c_1 \ldots c_m)[/tex] di [tex]W[/tex] tali che la matrice associata a [tex]f[/tex] rispetto a [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] sia [tex]\begin{equation} \begin{bmatrix}
1 \ & \ldots \ & 0 \ & 0 \ & \ldots \ & 0 \\
\ & \ddots \ & \ & \ & \ & \ \\
\ & \ &1 \ &0 \ & \ldots & 0 \\
0\ & \ldots & 0\ & 0\ & \ldots & 0 \\
\vdots&\ &\ &\ &\ &\ \\
0\ & \ldots & 0\ & 0\ & \ldots & 0 \\
\end{bmatrix} \end{equation}[/tex]
Dim.: Sia [tex]B'=(b'_1 \ldots b'_n)[/tex] una qualsiasi base di [tex]V[/tex]. L'insieme [tex]\{ f(b'_1) \ldots f(b'_n) \}[/tex] ha rango [tex]r[/tex], quindi possiamo scegliere [tex]i_1 \ldots i_r[/tex] tali che [tex]c_1 = f(b'_{i_1}) \ldots c_r = f(b'_{i_r})[/tex] siano linearmente indipendenti. Completiamo questo insieme ad una base [tex]C[/tex] di [tex]W[/tex]. Poniamo poi [tex]b_1=b'_{i_1} \ldots b_r=b'_{i_r}[/tex] e completiamo questo insieme ad una base [tex]B[/tex] di [tex]V[/tex] giustapponendovi una base di [tex]\mathrm{ker}(f)[/tex]. Osserviamo che quest'ultima costruzione ha senso in quanto per ogni [tex]i,\ b_i \notin \mathrm{ker}(f)[/tex] e inoltre [tex]\mathrm{dim}\,\mathrm{ker}(f)=n-r[/tex] per il noto teorema che lega rango e dimensione del nucleo di una applicazione lineare. [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] hanno le proprietà richieste. /////
In particolare, visto che ogni matrice rappresenta una trasformazione lineare (ad esempio da uno spazio [tex]\mathbb{K}^n[/tex] in uno spazio [tex]\mathbb{K}^m[/tex]), è possibile, moltiplicando a sinistra e a destra per opportune matrici invertibili, portare ogni matrice di rango [tex]r[/tex] nella forma (1).
__________________________________
(*) Vuol dire che la dimensione dell'immagine di [tex]f[/tex] è [tex]r[/tex]. Chiaramente coincide con il rango di una qualsiasi matrice ad essa associata.
). E' una questione di rappresentazione delle applicazioni lineari (ma si può anche passare dall'algoritmo di Gauss-Jordan, come si fa sulle dispense di Cailotto): Prop.: siano [tex]V^n[/tex] e [tex]W^m[/tex] due spazi vettoriali di dimensione finita [tex]n, m[/tex] e [tex]f\colon V \to W[/tex] una applicazione lineare di rango [tex]r[/tex] [size=75](*)[/size]. Allora esistono una base [tex]B=(b_1 \ldots b_n)[/tex] di [tex]V[/tex] e una base [tex]C=(c_1 \ldots c_m)[/tex] di [tex]W[/tex] tali che la matrice associata a [tex]f[/tex] rispetto a [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] sia [tex]\begin{equation} \begin{bmatrix}
1 \ & \ldots \ & 0 \ & 0 \ & \ldots \ & 0 \\
\ & \ddots \ & \ & \ & \ & \ \\
\ & \ &1 \ &0 \ & \ldots & 0 \\
0\ & \ldots & 0\ & 0\ & \ldots & 0 \\
\vdots&\ &\ &\ &\ &\ \\
0\ & \ldots & 0\ & 0\ & \ldots & 0 \\
\end{bmatrix} \end{equation}[/tex]
Dim.: Sia [tex]B'=(b'_1 \ldots b'_n)[/tex] una qualsiasi base di [tex]V[/tex]. L'insieme [tex]\{ f(b'_1) \ldots f(b'_n) \}[/tex] ha rango [tex]r[/tex], quindi possiamo scegliere [tex]i_1 \ldots i_r[/tex] tali che [tex]c_1 = f(b'_{i_1}) \ldots c_r = f(b'_{i_r})[/tex] siano linearmente indipendenti. Completiamo questo insieme ad una base [tex]C[/tex] di [tex]W[/tex]. Poniamo poi [tex]b_1=b'_{i_1} \ldots b_r=b'_{i_r}[/tex] e completiamo questo insieme ad una base [tex]B[/tex] di [tex]V[/tex] giustapponendovi una base di [tex]\mathrm{ker}(f)[/tex]. Osserviamo che quest'ultima costruzione ha senso in quanto per ogni [tex]i,\ b_i \notin \mathrm{ker}(f)[/tex] e inoltre [tex]\mathrm{dim}\,\mathrm{ker}(f)=n-r[/tex] per il noto teorema che lega rango e dimensione del nucleo di una applicazione lineare. [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] hanno le proprietà richieste. /////
In particolare, visto che ogni matrice rappresenta una trasformazione lineare (ad esempio da uno spazio [tex]\mathbb{K}^n[/tex] in uno spazio [tex]\mathbb{K}^m[/tex]), è possibile, moltiplicando a sinistra e a destra per opportune matrici invertibili, portare ogni matrice di rango [tex]r[/tex] nella forma (1).
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(*) Vuol dire che la dimensione dell'immagine di [tex]f[/tex] è [tex]r[/tex]. Chiaramente coincide con il rango di una qualsiasi matrice ad essa associata.
non ci ho capito quasi niente di quello che avete scritto... pensavo a qualcosa di più elementare...
"_overflow_":
:roll: non ci ho capito quasi niente di quello che avete scritto... pensavo a qualcosa di più elementare...
Non ho capito, perchè non ti va bene questa risposta? A me sembra la più semplice possibile:
"Sergio":
Una matrice $A$ qualsiasi purché $m times n$ e di rango $r$?
Facile: $a_(11)=a_(22)=...=a_(rr)=1$, il resto zeri.
"Gatto89":
[quote="_overflow_"]:roll: non ci ho capito quasi niente di quello che avete scritto... pensavo a qualcosa di più elementare...
Non ho capito, perchè non ti va bene questa risposta? A me sembra la più semplice possibile:
"Sergio":[/quote]
Una matrice $A$ qualsiasi purché $m times n$ e di rango $r$?
Facile: $a_(11)=a_(22)=...=a_(rr)=1$, il resto zeri.
Non è che non mi vada bene quella risposta però seguendo il suo consiglio, per quello che ho capito io, riuscirei ad ottenere solo matrici del tipo
$A=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$
che effettivamente ha rango 2, però se io volessi ottenere un'altra matrice di rango 2 di tipo $5xx4$ come dovrei procedere? è questo che non mi è chiaro...
"_overflow_":
$A=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$
che effettivamente ha rango 2, però se io volessi ottenere un'altra matrice di rango 2 di tipo $5xx4$ come dovrei procedere?
Basta moltiplicare la matrice $A$ a sinistra per una qualsiasi matrice $L$ invertibile 5x5, a destra per una qualsiasi matrice $R$ invertibile 4x4:
[tex]L \left( \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right) R[/tex]
"franced":Che poi è esattamente quanto dicevo io nei miei post precedenti. Poi ho aggiunto quella proposizione per dimostrare che tutte le matrici di rango r sono così, forse questo ti ha spaventato... Ignorala pure, se vuoi, non ti perdi niente di essenziale.
Basta moltiplicare la matrice $A$ a sinistra per una qualsiasi matrice $L$ invertibile 5x5, a destra per una qualsiasi matrice $R$ invertibile 4x4:
grazie a tutti per le risposte e i chiarimenti che mi avete fornito!
più che ignorare qualcosa che non capisco preferisco approfondire l'argomento per capire anche quelle cose che li per li non mi sono così chiare, e grazie ancora per la vostra pazienza...
"dissonance":Che poi è esattamente quanto dicevo io nei miei post precedenti. Poi ho aggiunto quella proposizione per dimostrare che tutte le matrici di rango r sono così, forse questo ti ha spaventato... Ignorala pure, se vuoi, non ti perdi niente di essenziale.[/quote]
[quote="franced"]Basta moltiplicare la matrice $A$ a sinistra per una qualsiasi matrice $L$ invertibile 5x5, a destra per una qualsiasi matrice $R$ invertibile 4x4:
più che ignorare qualcosa che non capisco preferisco approfondire l'argomento per capire anche quelle cose che li per li non mi sono così chiare, e grazie ancora per la vostra pazienza...
Prego!
ottimo... grazie mille sergio...
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