Cramer in un 4x3?
Ciao, ho un problema per questo sistema lineare :
Il testo mi chiede di descrivere l’insieme delle soluzioni del sistema S e del suo sistema omogeneo associato usando Cramer
$x+z=0$
$-x+y+z=0$
$-3x+y=0$
$2x-y+3z=-1$
Ma si può utilizzare il metodo di Cramer in un sistema di $4$ equazioni $3$ incognite? Poichè la matrice incompleta è rettangolare e non si può calcolarne il determinante
Il testo mi chiede di descrivere l’insieme delle soluzioni del sistema S e del suo sistema omogeneo associato usando Cramer
$x+z=0$
$-x+y+z=0$
$-3x+y=0$
$2x-y+3z=-1$
Ma si può utilizzare il metodo di Cramer in un sistema di $4$ equazioni $3$ incognite? Poichè la matrice incompleta è rettangolare e non si può calcolarne il determinante
Risposte
@Alfiere90, il sistema prima di tutto è compatibile?
Sì, in realtà il sistema iniziale era con parametro $k$, risolvendolo si trova che $k=-1$ è l'unica soluzione per cui il sistema è compatibile (risultato verificato, è sicuro)
"Alfiere90":non ti seguo, per favore riscrivi il sistema lineare col parametro \(k\) usando correttamente la codifica in LaTex, giá non capivo se dicevi seriamente prima e invece si vengono a scoprire altre cose mancanti nel post originale
Sì, in realtà il sistema iniziale era con parametro $k$, risolvendolo si trova che $k=-1$ è l'unica soluzione per cui il sistema è compatibile (risultato verificato, è sicuro)
Il sistema è il seguente : (scusa non so fare la parentesi graffa "grande")
$x+z=0$
$kx+y+2z=0$
$(k-2)x +y +(k^2-1)z=0$
$2x+kx+3z=-1$
Ho effettuato tutti i passaggi per la compatibilità e ho trovato che l'unico valore che la soddisfa è per $k=-1$ (valore confermato poichè il punto successivo chiede proprio : "Descrivere l’insieme delle soluzioni del sistema S per $k = −1$ e del suo sistema omogeneo associato usando Cramer"). Ho quindi volutamente omesso il sistema con parametro per risparmiare tempo
$x+z=0$
$kx+y+2z=0$
$(k-2)x +y +(k^2-1)z=0$
$2x+kx+3z=-1$
Ho effettuato tutti i passaggi per la compatibilità e ho trovato che l'unico valore che la soddisfa è per $k=-1$ (valore confermato poichè il punto successivo chiede proprio : "Descrivere l’insieme delle soluzioni del sistema S per $k = −1$ e del suo sistema omogeneo associato usando Cramer"). Ho quindi volutamente omesso il sistema con parametro per risparmiare tempo
tu hai scritto inizialmente
[ot]
"Alfiere90":ora, stando a te, quel sistema deriva dal seguente per \(k=-1\)
$x+z=0$
$-x+y+z=0$
$-3x+y=0$
$2x-y+3z=-1$
"Alfiere90":secondo me vi è qualcosa che non va, ovvero nell ultima eq lin e nella seconda al momento della sostituzione o trascrizione. Sistema, ricalcola e vedrai che il sistema sará compatibile risultando essere, secondo la def, un sistema lineare di Cramer e potrai quindi applicare la regoletta per avere le soluzioni
$ x+z=0 $
$ kx+y+2z=0 $
$ (k-2)x +y +(k^2-1)z=0 $
$ 2x+kx+3z=-1 $
[ot]
"Alfiere90":vi è un POST intero da dove puoi fare copia - modifica - incolla, oppure usa questo editor online inserendo la formula pronta entro i delimitatori
(scusa non so fare la parentesi graffa "grande")
\( e \). Inoltre attenzione alla [regolamento]regola 3_7[/regolamento] del regolamento[/ot]
"garnak.olegovitc":
secondo me vi è qualcosa che non va, ovvero nell ultima eq lin e nella seconda al momento della sostituzione o trascrizione.
Sì ma non è quello il problema, ho fatto errori di battitura : le equazioni scritte bene sono: $kx + y + 2z = 0$ e$2x + ky + 3z = −1$
Il punto è che viene un sistema rettangolare $4x3$ perchè la matrice incompleta è :
$A= ((1,0,1),(-1,1,2),(-3,1,0),(2,-1,3))$
"Alfiere90":
[quote="garnak.olegovitc"]
secondo me vi è qualcosa che non va, ovvero nell ultima eq lin e nella seconda al momento della sostituzione o trascrizione.
Sì ma non è quello il problema, ho fatto errori di battitura : le equazioni scritte bene sono: $kx + y + 2z = 0$ e$2x + ky + 3z = −1$
Il punto è che viene un sistema rettangolare $4x3$ perchè la matrice incompleta è :
$A= ((1,0,1),(-1,1,2),(-3,1,0),(2,-1,3))$[/quote]
dal tuo prima sistema lineare $$ \Sigma:=\left\{\begin{matrix} x+z=0 \\ −x+y+z=0 \\ −3x+y=0\\2x−y+3z=−1 \end{matrix}\right.$$ si aveva come matrice completa ed incompleta rispettivamente $$A(\Sigma):=\begin{Vmatrix}
-1& 0 &1 \\
-1 &1 &1 \\
-3& 1 &0 \\
2& -1& 3
\end{Vmatrix} \; \; \;A|b(\Sigma):=\begin{Vmatrix}
-1& 0 &1 &0 \\
-1 &1 &1&0 \\
-3& 1 &0 &0\\
2& -1& 3&-1
\end{Vmatrix}$$ da cui $$\operatorname{rnk}(A(\Sigma))=3 \; \; \; \operatorname{rnk}(A|b(\Sigma))=4$$ e qui il mio dubbio e l´insistenza per la chiarezza, abbi pazienza, nel pensare da parte tua o docente a Cramer o nel cercare l´errore visto che \(\Sigma\) era non compatibile. Comunque, dopo si é saputo che il sistema lineare effettivamente era $$ \Sigma´:=\left\{\begin{matrix} x+z=0 \\ −x+y+2z=0 \\ −3x+y=0\\2x−y+3z=−1 \end{matrix}\right.$$ e si aveva come matrice completa ed incompleta rispettivamente $$A(\Sigma´):=\begin{Vmatrix}
-1& 0 &1 \\
-1 &1 &2 \\
-3& 1 &0 \\
2& -1& 3
\end{Vmatrix} \; \; \;A|b(\Sigma´):=\begin{Vmatrix}
-1& 0 &1 &0 \\
-1 &1 &2&0 \\
-3& 1 &0 &0\\
2& -1& 3&-1
\end{Vmatrix}$$ da cui $$\operatorname{rnk}(A(\Sigma´))=3 \; \; \; \operatorname{rnk}(A|b(\Sigma´))=3$$ ergo compatibile, adesso fai le dovute precisazioni ed applica Cramer, non penso che il "problema" sia che non sai applicare Cramer!
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