Covettore...
Carissimi ragazzi, studiando analisi II (so che questa è la sezione di geometria 
) mi sono imbattuto più volte nell'utilizzo del termine "covettore" che mai prima avevo, ahimè, appreso. Facendo dei collegamenti circa l'utilizzo che ne fa, mi sembra che utilizzi questo termine quando si parla, in un certo senso, di vettori riga. In attesa di vostre erudite spiegazioni, ringrazio per la cortese collaborazione. 
) mi sono imbattuto più volte nell'utilizzo del termine "covettore" che mai prima avevo, ahimè, appreso. Facendo dei collegamenti circa l'utilizzo che ne fa, mi sembra che utilizzi questo termine quando si parla, in un certo senso, di vettori riga. In attesa di vostre erudite spiegazioni, ringrazio per la cortese collaborazione.
Risposte
Eh, qui ti si apre un mondo... La nozione di covettore è legata alle forme differenziali, e tu non puoi nemmeno immaginare quanto questo argomento sia algebrico (e non analitico!).
Vediamo se riesco a dirti qualcosa senza affogarti di nozioni... dunque per capire veramente la cosa più sbagliata che si possa fare è ragionare in [tex]\mathbb R^n[/tex], perché questo complica la vita. Se uso la parola varietà differenziabile ti spaventi? Prima di intraprendere un discorso inutile, ti faccio una domanda: sei davvero interessato a capire Cos'è un covettore? (nota la C maiuscola di Cos'è) Se la risposta è sì, sappi che ti porterà via molto tempo, ma ti posso guidare nel percorso. Se la risposta è no, allora non sono mai stato capace a fare divulgazione, quindi lascio la parola a qualcuno più abile di me in questa sottile arte.
P.S. Ti pregherei soltanto di diffidare di qualsiasi spiegazione "alla fisica" di questi concetti, che invece hanno in sé una poesia ed un'eleganza che è propria esclusivamente della geometria algebrica (questo, ovviamente è il mio parere!). Ti faccio un elenco delle cose che servono per capire davvero la nozione di covettore:
1) varietà (superficie) differenziabile (più che altro per avere un supporto intuitivo, perché, come dicevo, ragionare in [tex]\mathbb R^n[/tex] ha lo strano potere di confondere le idee);
2) nozione di fibrato vettoriale su uno spazio topologico;
3) nozione di spazio tangente ad una varietà differenziabile;
4) nozione di duale di uno spazio vettoriale.
Per capire le forme differenziali, poi, serve in più familiarità con il concetto di algebra esterna.
Vediamo se riesco a dirti qualcosa senza affogarti di nozioni... dunque per capire veramente la cosa più sbagliata che si possa fare è ragionare in [tex]\mathbb R^n[/tex], perché questo complica la vita. Se uso la parola varietà differenziabile ti spaventi? Prima di intraprendere un discorso inutile, ti faccio una domanda: sei davvero interessato a capire Cos'è un covettore? (nota la C maiuscola di Cos'è) Se la risposta è sì, sappi che ti porterà via molto tempo, ma ti posso guidare nel percorso. Se la risposta è no, allora non sono mai stato capace a fare divulgazione, quindi lascio la parola a qualcuno più abile di me in questa sottile arte.
P.S. Ti pregherei soltanto di diffidare di qualsiasi spiegazione "alla fisica" di questi concetti, che invece hanno in sé una poesia ed un'eleganza che è propria esclusivamente della geometria algebrica (questo, ovviamente è il mio parere!). Ti faccio un elenco delle cose che servono per capire davvero la nozione di covettore:
1) varietà (superficie) differenziabile (più che altro per avere un supporto intuitivo, perché, come dicevo, ragionare in [tex]\mathbb R^n[/tex] ha lo strano potere di confondere le idee);
2) nozione di fibrato vettoriale su uno spazio topologico;
3) nozione di spazio tangente ad una varietà differenziabile;
4) nozione di duale di uno spazio vettoriale.
Per capire le forme differenziali, poi, serve in più familiarità con il concetto di algebra esterna.
Caro maurer, sono interessato a comprendere la nozione di "covettore", ma dei punti da te citati sono in possesso solo del numero 4. È possibile andare avanti con la spiegazione?
A tuo modo di vedere è "regolare" che io nona abbia mai incontrato la nozione di covettore in questi primi due anni universitari validi per il cdl in matematica?
A tuo modo di vedere è "regolare" che io nona abbia mai incontrato la nozione di covettore in questi primi due anni universitari validi per il cdl in matematica?
Sì, è normale che tu arrivi a questo punto e senti parlare di covettori senza avere la reale possibilità di capire cosa sono veramente. Il problema, dal mio punto di vista, sono i didattici che si ostinano a voler trattare con i guanti di velluto gli studenti per paura di spaventarli a morte e di farli fuggire. Li odio! 
Il linguaggio giusto è quello che è e non possiamo fare altro che prenderci dimestichezza...
Bene, posso provare a procedere con la spiegazione. Provo un livello intuitivo; sappi già ancora prima di iniziare che non è possibile che tu comprenda alla perfezione il discorso successivo. Se, adesso o più avanti, vorrai approfondire i dettagli per ottenere una migliore comprensione dimmelo, che posso provvedere ad integrare.
Ah, ho dimenticato una cosa fondamentale: tu hai confidenza con la topologia, vero? Perché altrimenti è davvero un macello. Non l'ho scritto prima perché (purtroppo?) mi sto dimenticando l'ordine con cui ho imparato le cose e argomenti come la topologia mi sembra di averceli nel DNA...
Dunque, per prima cosa consideriamo il caso due-dimensionale. Come dicevo prima, è fuorviante pensare ad un piano. Ti consiglio di pensare ad un ellissoide. L'ellissoide sarà il nostro modello di varietà differenziabile. Intuitivamente, una varietà differenziabile è un oggetto che è localmente euclideo: ogni punto della varietà ha un intorno sulla varietà che è omeomorfo ad una palla aperta in [tex]\mathbb R^n[/tex]. Nel nostro caso, ogni punto dell'ellissoide ha un intorno aperto omeomorfo ad un disco del piano. Questa è la caratteristica più importante delle varietà topologiche; una varietà differenziabile è una varietà topologica su cui è stata fatta una scelta delle funzioni ammissibili, che determinano la classe di differenziabilità. Più regolari sono le funzioni, più alta è la classe di differenziabilità (bisognerebbe introdurre definizioni formali, ma ti annegherei semplicemente di nozioni troppo nuove per essere assimilate in poco tempo; se ne è comunque parlato in qualche misura qui).
Considera il nostro ellissoide e fissa un punto su di esso, diciamo [tex]P[/tex]. Lo spazio ambiente è [tex]\mathbb R^3[/tex] e spero che non avrai difficoltà a capire cosa intendo con spazio tangente all'ellissoide nel punto [tex]P[/tex] (sempre a livello intuitivo). Ora, se chiamiamo [tex]X[/tex] l'ellissoide, lo spazio tangente a [tex]X[/tex] in [tex]P[/tex] è denotato [tex]T_P(X)[/tex] ed è uno spazio vettoriale. Al variare del punto [tex]P[/tex], cambia lo spazio tangente. L'unione di tutti gli spazi tangenti è detto fibrato tangente ed è denotato [tex]TX[/tex] (bisognerebbe metterci una topologia e dotarlo di struttura di fibrato; comunque sia, sappi che si può fare, ma per ora accontentati di un'immagine non troppo felice da visualizzare; se posso darti un consiglio in merito, non pensare al fibrato tangente nel suo complesso, ma immaginatelo solo localmente, ossia vicino ad un punto).
La parte più difficile è questa: i vettori tangenti tu li immagini (giustamente, perché ti ho condotto su questa strada) come vettori applicati nello spazio. Il punto è che per parlare di varietà differenziabili in generale (e per capire per bene la nozione di covettore!) occorre operare un cambio di visuale. I vettori tangenti saranno definiti come applicazioni che ad una funzione reale definita in un intorno del punto [tex]P[/tex] associano un numero reale. Ti viene in mente niente? Mettiamoci adesso pure nel piano, per essere sicuri di usare nozioni che conosci. Nel piano hai fissato un punto [tex](x_0,y_0)[/tex]; vuoi un'operatore che ad una qualsiasi funzione differenziabile(*) [tex]f \colon U \to \mathbb R[/tex], dove [tex]U[/tex] è un intorno aperto di [tex](x_0,y_0)[/tex] associ un numero reale. Chi ti viene in mente? Ad esempio [tex]\left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{x = x_0,y = y_0}[/tex]. Ecco, questo è quello che succede su una varietà qualsiasi: i vettori tangenti sono le derivazioni (poi qui il discorso si complica, perché se la classe di differenziabilità non è [tex]\infty[/tex] abbiamo troppi oggetti, ma non entriamo nel merito di simili dettagli!).
I vettori di [tex]T_P(X)[/tex] sono detti vettori tangenti a [tex]X[/tex] in [tex]P[/tex]. Inoltre, [tex]T_P(X)[/tex] è uno spazio vettoriale e come tutti gli spazi vettoriali, ha il suo duale, che viene denotato [tex]T_P^*(X)[/tex] e viene chiamato spazio cotangente. Ora, cosa sono gli elementi di [tex]T_P^*(X)[/tex]? Sono funzionali lineari [tex]\xi \colon T_P^*(X) \to \mathbb R[/tex] che ad un vettore tangente [tex]\mathbf v[/tex] associano un numero reale [tex]\xi(\mathbf v)[/tex]. Ora proviamo a metterci nel piano. Si può dimostrare che lo spazio tangente in [tex](x_0,y_0)[/tex] è in questo caso generato da [tex]\left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{(x,y) = (x_0,y_0)}[/tex] e [tex]\left. \frac{\partial}{\partial y} \right|_{(x,y) = (x_0,y_0)}[/tex]; il generico elemento sarà la derivata direzionale in una direzione fissata. Considera una funzione [tex]f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R[/tex]. Possiamo definire [tex]\xi \colon T_{(x_0,y_0)}^*(\mathbb R^2)[/tex] ponendo
[tex]\xi_1 \left( \lambda \left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)} + \mu \left. \frac{\partial}{\partial y} \right|_{(x_0,y_0)} \right) := \lambda \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)} + \mu \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(x_0,y_0)} = \lambda[/tex]. Questo è detto differenziale di [tex]f[/tex] in [tex](x_0,y_0)[/tex] e viene denotato [tex]\text{d}f_{(x_0,y_0)}[/tex]. Osserva che se denotiamo in maniera oscena la proiezione sulla prima coordinata con [tex]x[/tex] e quella sulla seconda con [tex]y[/tex], ossia [tex]x,y \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R[/tex], [tex]x(a,b) := a[/tex], [tex]y(a,b) := b[/tex] allora [tex]\text{d}x_{(x_0,y_0)}[/tex] e [tex]\text{d}y_{(x_0,y_0)}[/tex] diventano la base duale di [tex]\left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)}[/tex], [tex]\left. \frac{\partial}{\partial y} \right|_{(x_0,y_0)}[/tex].
Vedi qual è la difficoltà a ragionare nel piano? In questa situazione il piano tangente a [tex]\mathbb R^2[/tex] è una cosa diversa da [tex]\mathbb R^2[/tex] (il primo è uno spazio vettoriale, il secondo è da pensarsi come spazio topologico, o meglio, come varietà differenziabile), ma ovviamente sono lo stesso insieme e anche la visualizzazione geometrica non aiuta perché uno è sovrapposto all'altro e sembrano davvero la stessa cosa; in altre parole hai che [tex]x,y \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R[/tex] sono funzioni definite su [tex]\mathbb R^2[/tex]-varietà, mentre [tex]\text{d}x_{(x_0,y_0)}, \text{d}y_{(x_0,y_0)} \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R[/tex] sono funzionali lineari definiti su [tex]\mathbb R^2[/tex]-spazio vettoriale. Nel caso di una varietà generica non c'è problema di confusione: [tex]x,y \colon X \to \mathbb R[/tex], mentre [tex]\text{d}x_{(x_0,y_0)}, \text{d}y_{(x_0,y_0)} \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R[/tex].
Ora siamo quasi arrivati. Infatti se [tex]f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R[/tex] è una funzione qualsiasi è possibile definire una mappa [tex]\text{d}f \colon \mathbb R^2 \to T^* \mathbb R^2[/tex] (il fibrato cotangente di [tex]\mathbb R^2[/tex], che puoi pensare come l'unione di tutti gli spazi cotangenti) definita da [tex](\text{d}f)(x_0,y_0) := \text{d}f_{(x_0,y_0)}[/tex]. Ecco, questa è una 1-forma differenziale.
Ora secondo me i covettori dovrebbero essere le 1-forme differenziali. Però non posso escludere che qualcuno chiami covettori i vettori cotangenti, ossia gli elementi del piano cotangente in un punto fissato.
Si può andare avanti, ovviamente. Non serve più topologia e analisi di quanta ne abbiamo usato finora. Invece, serve l'algebra perché per parlare di forme differenziali in maniera decente, bisogna introdurre la nozione di potenza esterna del fibrato cotangente.
Fammi sapere se vuoi andare avanti. Ovviamente puoi fare ogni domanda che vuoi. Puoi anche dirmi di non dire più nulla ed invocare l'intervento di qualcuno più bravo a divulgare.
(*) Avrei potuto sottointendere la parola differenziabile e tutto avrebbe dovuto avere senso lo stesso. Il motivo, è che stiamo lavorando su varietà differenziabili, quindi le uniche funzioni che ci interessano sono quelle differenziabili.
Il linguaggio giusto è quello che è e non possiamo fare altro che prenderci dimestichezza...Bene, posso provare a procedere con la spiegazione. Provo un livello intuitivo; sappi già ancora prima di iniziare che non è possibile che tu comprenda alla perfezione il discorso successivo. Se, adesso o più avanti, vorrai approfondire i dettagli per ottenere una migliore comprensione dimmelo, che posso provvedere ad integrare.
Ah, ho dimenticato una cosa fondamentale: tu hai confidenza con la topologia, vero? Perché altrimenti è davvero un macello. Non l'ho scritto prima perché (purtroppo?) mi sto dimenticando l'ordine con cui ho imparato le cose e argomenti come la topologia mi sembra di averceli nel DNA...
Dunque, per prima cosa consideriamo il caso due-dimensionale. Come dicevo prima, è fuorviante pensare ad un piano. Ti consiglio di pensare ad un ellissoide. L'ellissoide sarà il nostro modello di varietà differenziabile. Intuitivamente, una varietà differenziabile è un oggetto che è localmente euclideo: ogni punto della varietà ha un intorno sulla varietà che è omeomorfo ad una palla aperta in [tex]\mathbb R^n[/tex]. Nel nostro caso, ogni punto dell'ellissoide ha un intorno aperto omeomorfo ad un disco del piano. Questa è la caratteristica più importante delle varietà topologiche; una varietà differenziabile è una varietà topologica su cui è stata fatta una scelta delle funzioni ammissibili, che determinano la classe di differenziabilità. Più regolari sono le funzioni, più alta è la classe di differenziabilità (bisognerebbe introdurre definizioni formali, ma ti annegherei semplicemente di nozioni troppo nuove per essere assimilate in poco tempo; se ne è comunque parlato in qualche misura qui).
Considera il nostro ellissoide e fissa un punto su di esso, diciamo [tex]P[/tex]. Lo spazio ambiente è [tex]\mathbb R^3[/tex] e spero che non avrai difficoltà a capire cosa intendo con spazio tangente all'ellissoide nel punto [tex]P[/tex] (sempre a livello intuitivo). Ora, se chiamiamo [tex]X[/tex] l'ellissoide, lo spazio tangente a [tex]X[/tex] in [tex]P[/tex] è denotato [tex]T_P(X)[/tex] ed è uno spazio vettoriale. Al variare del punto [tex]P[/tex], cambia lo spazio tangente. L'unione di tutti gli spazi tangenti è detto fibrato tangente ed è denotato [tex]TX[/tex] (bisognerebbe metterci una topologia e dotarlo di struttura di fibrato; comunque sia, sappi che si può fare, ma per ora accontentati di un'immagine non troppo felice da visualizzare; se posso darti un consiglio in merito, non pensare al fibrato tangente nel suo complesso, ma immaginatelo solo localmente, ossia vicino ad un punto).
La parte più difficile è questa: i vettori tangenti tu li immagini (giustamente, perché ti ho condotto su questa strada) come vettori applicati nello spazio. Il punto è che per parlare di varietà differenziabili in generale (e per capire per bene la nozione di covettore!) occorre operare un cambio di visuale. I vettori tangenti saranno definiti come applicazioni che ad una funzione reale definita in un intorno del punto [tex]P[/tex] associano un numero reale. Ti viene in mente niente? Mettiamoci adesso pure nel piano, per essere sicuri di usare nozioni che conosci. Nel piano hai fissato un punto [tex](x_0,y_0)[/tex]; vuoi un'operatore che ad una qualsiasi funzione differenziabile(*) [tex]f \colon U \to \mathbb R[/tex], dove [tex]U[/tex] è un intorno aperto di [tex](x_0,y_0)[/tex] associ un numero reale. Chi ti viene in mente? Ad esempio [tex]\left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{x = x_0,y = y_0}[/tex]. Ecco, questo è quello che succede su una varietà qualsiasi: i vettori tangenti sono le derivazioni (poi qui il discorso si complica, perché se la classe di differenziabilità non è [tex]\infty[/tex] abbiamo troppi oggetti, ma non entriamo nel merito di simili dettagli!).
I vettori di [tex]T_P(X)[/tex] sono detti vettori tangenti a [tex]X[/tex] in [tex]P[/tex]. Inoltre, [tex]T_P(X)[/tex] è uno spazio vettoriale e come tutti gli spazi vettoriali, ha il suo duale, che viene denotato [tex]T_P^*(X)[/tex] e viene chiamato spazio cotangente. Ora, cosa sono gli elementi di [tex]T_P^*(X)[/tex]? Sono funzionali lineari [tex]\xi \colon T_P^*(X) \to \mathbb R[/tex] che ad un vettore tangente [tex]\mathbf v[/tex] associano un numero reale [tex]\xi(\mathbf v)[/tex]. Ora proviamo a metterci nel piano. Si può dimostrare che lo spazio tangente in [tex](x_0,y_0)[/tex] è in questo caso generato da [tex]\left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{(x,y) = (x_0,y_0)}[/tex] e [tex]\left. \frac{\partial}{\partial y} \right|_{(x,y) = (x_0,y_0)}[/tex]; il generico elemento sarà la derivata direzionale in una direzione fissata. Considera una funzione [tex]f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R[/tex]. Possiamo definire [tex]\xi \colon T_{(x_0,y_0)}^*(\mathbb R^2)[/tex] ponendo
[tex]\xi_1 \left( \lambda \left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)} + \mu \left. \frac{\partial}{\partial y} \right|_{(x_0,y_0)} \right) := \lambda \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)} + \mu \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(x_0,y_0)} = \lambda[/tex]. Questo è detto differenziale di [tex]f[/tex] in [tex](x_0,y_0)[/tex] e viene denotato [tex]\text{d}f_{(x_0,y_0)}[/tex]. Osserva che se denotiamo in maniera oscena la proiezione sulla prima coordinata con [tex]x[/tex] e quella sulla seconda con [tex]y[/tex], ossia [tex]x,y \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R[/tex], [tex]x(a,b) := a[/tex], [tex]y(a,b) := b[/tex] allora [tex]\text{d}x_{(x_0,y_0)}[/tex] e [tex]\text{d}y_{(x_0,y_0)}[/tex] diventano la base duale di [tex]\left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)}[/tex], [tex]\left. \frac{\partial}{\partial y} \right|_{(x_0,y_0)}[/tex].
Vedi qual è la difficoltà a ragionare nel piano? In questa situazione il piano tangente a [tex]\mathbb R^2[/tex] è una cosa diversa da [tex]\mathbb R^2[/tex] (il primo è uno spazio vettoriale, il secondo è da pensarsi come spazio topologico, o meglio, come varietà differenziabile), ma ovviamente sono lo stesso insieme e anche la visualizzazione geometrica non aiuta perché uno è sovrapposto all'altro e sembrano davvero la stessa cosa; in altre parole hai che [tex]x,y \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R[/tex] sono funzioni definite su [tex]\mathbb R^2[/tex]-varietà, mentre [tex]\text{d}x_{(x_0,y_0)}, \text{d}y_{(x_0,y_0)} \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R[/tex] sono funzionali lineari definiti su [tex]\mathbb R^2[/tex]-spazio vettoriale. Nel caso di una varietà generica non c'è problema di confusione: [tex]x,y \colon X \to \mathbb R[/tex], mentre [tex]\text{d}x_{(x_0,y_0)}, \text{d}y_{(x_0,y_0)} \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R[/tex].
Ora siamo quasi arrivati. Infatti se [tex]f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R[/tex] è una funzione qualsiasi è possibile definire una mappa [tex]\text{d}f \colon \mathbb R^2 \to T^* \mathbb R^2[/tex] (il fibrato cotangente di [tex]\mathbb R^2[/tex], che puoi pensare come l'unione di tutti gli spazi cotangenti) definita da [tex](\text{d}f)(x_0,y_0) := \text{d}f_{(x_0,y_0)}[/tex]. Ecco, questa è una 1-forma differenziale.
Ora secondo me i covettori dovrebbero essere le 1-forme differenziali. Però non posso escludere che qualcuno chiami covettori i vettori cotangenti, ossia gli elementi del piano cotangente in un punto fissato.
Si può andare avanti, ovviamente. Non serve più topologia e analisi di quanta ne abbiamo usato finora. Invece, serve l'algebra perché per parlare di forme differenziali in maniera decente, bisogna introdurre la nozione di potenza esterna del fibrato cotangente.
Fammi sapere se vuoi andare avanti. Ovviamente puoi fare ogni domanda che vuoi. Puoi anche dirmi di non dire più nulla ed invocare l'intervento di qualcuno più bravo a divulgare.
(*) Avrei potuto sottointendere la parola differenziabile e tutto avrebbe dovuto avere senso lo stesso. Il motivo, è che stiamo lavorando su varietà differenziabili, quindi le uniche funzioni che ci interessano sono quelle differenziabili.
Ti ringrazio per l'erudita (almeno si spera ) spiegazione.
Diciamo che questo passaggio non l'ho colto appieno.
Tutto sommato ho ritrovato una certa chiarezza nel discorso anche se ha destato tanto sospetto quando hai detto
L'idea di vedere una stessa entità sotto due diversi punti di vista mi affascina, in fondo.
Credo che perlomeno nel corso dei primi anni bisogna andarci con una certa "tranquillità", non credi?
) spiegazione. "maurer":
Ora siamo quasi arrivati. Infatti se f:R2→R è una funzione qualsiasi è possibile definire una mappa df:R2→T∗R2 (il fibrato cotangente di R2 , che puoi pensare come l'unione di tutti gli spazi cotangenti) definita da (df)(x0,y0):=df(x0,y0) . Ecco, questa è una 1-forma differenziale.
Diciamo che questo passaggio non l'ho colto appieno.
Tutto sommato ho ritrovato una certa chiarezza nel discorso anche se ha destato tanto sospetto quando hai detto
"maurer":
Vedi qual è la difficoltà a ragionare nel piano? In questa situazione il piano tangente a R2 è una cosa diversa da R2 (il primo è uno spazio vettoriale, il secondo è da pensarsi come spazio topologico, o meglio, come varietà differenziabile), ma ovviamente sono lo stesso insieme e anche la visualizzazione geometrica non aiuta perché uno è sovrapposto all'altro e sembrano davvero la stessa cosa; in altre parole hai che x,y:R2→R sono funzioni definite su R2 -varietà, mentre dx(x0,y0),dy(x0,y0):R2→R sono funzionali lineari definiti su R2 -spazio vettoriale. Nel caso di una varietà generica non c'è problema di confusione: x,y:X→R , mentre dx(x0,y0),dy(x0,y0):R2→R .
L'idea di vedere una stessa entità sotto due diversi punti di vista mi affascina, in fondo.
"maurer":[/quote]
Il linguaggio giusto è quello che è e non possiamo fare altro che prenderci dimestichezza...
Credo che perlomeno nel corso dei primi anni bisogna andarci con una certa "tranquillità", non credi?
Non ho intenzione di interrompere maurer che è lanciato in un discorso full-optional sul concetto nel contesto della moderna geometria differenziale. Però segnalo un paio di letturine: la prima è questo mio piccolissimo intervento, banale e demenziale, di qualche anno fa :
post353181.html#p353181
La seconda invece è una letturona, maurer la conosce già ed è una lezione di Terence Tao sul principio di indeterminazione di Heisenberg. Il primo paragrafo parla genericamente del concetto matematico di "dualità", di cui l'argomento del topic è un caso particolare (dualità di spazio vettoriale - l'autore parla di linear functionals, un sinonimo di covettore usato maggiormente nel caso di spazi vettoriali di funzioni):
http://terrytao.wordpress.com/2010/06/2 ... principle/
post353181.html#p353181
La seconda invece è una letturona, maurer la conosce già ed è una lezione di Terence Tao sul principio di indeterminazione di Heisenberg. Il primo paragrafo parla genericamente del concetto matematico di "dualità", di cui l'argomento del topic è un caso particolare (dualità di spazio vettoriale - l'autore parla di linear functionals, un sinonimo di covettore usato maggiormente nel caso di spazi vettoriali di funzioni):
http://terrytao.wordpress.com/2010/06/2 ... principle/
"menale":
[quote="maurer"]Ora siamo quasi arrivati. Infatti se f:R2→R è una funzione qualsiasi è possibile definire una mappa df:R2→T∗R2 (il fibrato cotangente di R2 , che puoi pensare come l'unione di tutti gli spazi cotangenti) definita da (df)(x0,y0):=df(x0,y0) . Ecco, questa è una 1-forma differenziale.
Diciamo che questo passaggio non l'ho colto appieno.
[/quote]Eh, per forza. Ho necessariamente omesso un po' di linguaggio tecnico. Una 1-forma differenziale sarebbe una sezione del fibrato cotangente di una varietà, ma per parlare di sezione bisognerebbe mettersi a sviluppare tutta la teoria dei fibrati (o dei fasci!) e non mi pare il caso in questo momento ed in questa sede.
"menale":[/quote]
Tutto sommato ho ritrovato una certa chiarezza nel discorso anche se ha destato tanto sospetto quando hai detto [quote="maurer"]Vedi qual è la difficoltà a ragionare nel piano? In questa situazione il piano tangente a R2 è una cosa diversa da R2 (il primo è uno spazio vettoriale, il secondo è da pensarsi come spazio topologico, o meglio, come varietà differenziabile), ma ovviamente sono lo stesso insieme e anche la visualizzazione geometrica non aiuta perché uno è sovrapposto all'altro e sembrano davvero la stessa cosa; in altre parole hai che x,y:R2→R sono funzioni definite su R2 -varietà, mentre dx(x0,y0),dy(x0,y0):R2→R sono funzionali lineari definiti su R2 -spazio vettoriale. Nel caso di una varietà generica non c'è problema di confusione: x,y:X→R , mentre dx(x0,y0),dy(x0,y0):R2→R .
Bene, sono contento che ti sia stato anche in minima parte chiaro. In che senso dici che ti ha suscitato sospetto? Devi abituarti a vedere il piano (lo spazio, [tex]\mathbb R^n[/tex] più in generale) sotto questo duplice punto di vista. Il punto è che raramente i docenti spiegano questo piccolo ma fondamentale fatto. Almeno, io l'ho dovuto capire a furia di sudore e sangue...
"menale":
L'idea di vedere una stessa entità sotto due diversi punti di vista mi affascina, in fondo.
Oh, ne vedrai tante che la tua voglia sarà senz'altro appagata, nei prossimi anni!
"menale":[/quote]
[quote="maurer"]Il linguaggio giusto è quello che è e non possiamo fare altro che prenderci dimestichezza...
Credo che perlomeno nel corso dei primi anni bisogna andarci con una certa "tranquillità", non credi?[/quote]
Eh, non sono proprio d'accordo, ma pazienza...
Infine:
"dissonance":
Non ho intenzione di interrompere maurer che è lanciato in un discorso full-optional sul concetto nel contesto della moderna geometria differenziale.
Sono partito per la strada della geometria differenziale perché menale ha detto di fare analisi 2 e ritengo proprio che l'unico motivo che ci sia di citare i covettori in analisi 2 sia per avvicinarsi alla tematica delle forme differenziali chiuse / esatte...
Ma infatti hai fatto bene a fare questo discorso, maurer. Sono anche d'accordo col tuo punto di vista sul linguaggio; ad esempio anche io sono arrivato da solo, e al prezzo di sudore e sangue, a capire l'identificazione di \(\mathbb{R}^2\) col suo spazio tangente. Certo, sono molto meno appassionato di te all'abstract nonsense ([size=95]non inteso in senso offensivo[/size]): negli ultimi tempi sto cercando proprio di abituarmi all'approccio opposto, ovvero partire dalla massima concretezza di un problema e poi appoggiarmi a questa come base per capire l'astrazione successiva. Ma è solo questione di punti di vista.
"maurer":
Eh, per forza. Ho necessariamente omesso un po' di linguaggio tecnico. Una 1-forma differenziale sarebbe una sezione del fibrato cotangente di una varietà, ma per parlare di sezione bisognerebbe mettersi a sviluppare tutta la teoria dei fibrati (o dei fasci!) e non mi pare il caso in questo momento ed in questa sede.
Sezione del fibrato: mi sembra molto interessante. In quale esame potrei incontrare questo argomento?
Solitamente prima della specialistica è difficile incontrare questo argomento in maniera dettagliata. In ogni caso dev'essere un corso di geometria qualcosa. Tieni presente che è praticamente impossibile fare geometria algebrica / geometria differenziale / tante-altre-cose senza un uso sistematico della teoria dei fasci. Tanto per dirne una, la geometria degli schemi non può nemmeno iniziare senza la teoria dei fasci. E i fibrati vettoriali sono un caso particolare di fascio...
Beh vabbè comunque io penso che anche senza scendere troppo sul tecnico un mucchio di idee si possano dare lo stesso. Un libro che segue questa strada è lo Spivak (A comprehensive introduction to differential geometry vol. I).
A seconda del livello di generalità che si vuole raggiungere le definizioni fondamentali della geometria differenziale possono essere più o meno complicate. Ad esempio se ci si vuole occupare solo di \(\mathbb{R}^n\), è sufficiente considerarne la sola struttura affine (ed euclidea) e definire il fibrato tangente come l'insieme \(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n\), i cui elementi indichiamo con questa notazione: \[(p, v) \equiv v_p\]
dicendo che \(v_p\) è il vettore \(v\) tangente ad \(\mathbb{R}^n\) nel punto \(p\). Una sezione di questo fibrato è semplicemente una mappa
\[s \colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n\]
che ad un punto \(p\) associa un vettore \(v_p\) in esso applicato. Quando \(s\) è una funzione liscia questo oggetto si chiama campo vettoriale. Similmente, considerando il fibrato cotangente \(\mathbb{R}^n\times (\mathbb{R}^n)^\star\), i cui elementi \(\omega_p\) sono covettori applicati in punti, una sezione del fibrato cotangente è una mappa
\[\sigma\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \times (\mathbb{R}^n)^\star\]
che ad ogni punto \(p\) associa un covettore \(\omega_p\) in esso applicato. Quando la mappa è liscia questo oggetto si chiama forma differenziale (di ordine 1).
Ora ci possiamo porre il problema di generalizzare tali costruzioni a varietà diverse da \(\mathbb{R}^n\), facendo partire il carrozzone della geometria differenziale vera e propria. Ma l'idea di fondo è già, in larga parte, qui.
A seconda del livello di generalità che si vuole raggiungere le definizioni fondamentali della geometria differenziale possono essere più o meno complicate. Ad esempio se ci si vuole occupare solo di \(\mathbb{R}^n\), è sufficiente considerarne la sola struttura affine (ed euclidea) e definire il fibrato tangente come l'insieme \(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n\), i cui elementi indichiamo con questa notazione: \[(p, v) \equiv v_p\]
dicendo che \(v_p\) è il vettore \(v\) tangente ad \(\mathbb{R}^n\) nel punto \(p\). Una sezione di questo fibrato è semplicemente una mappa
\[s \colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n\]
che ad un punto \(p\) associa un vettore \(v_p\) in esso applicato. Quando \(s\) è una funzione liscia questo oggetto si chiama campo vettoriale. Similmente, considerando il fibrato cotangente \(\mathbb{R}^n\times (\mathbb{R}^n)^\star\), i cui elementi \(\omega_p\) sono covettori applicati in punti, una sezione del fibrato cotangente è una mappa
\[\sigma\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \times (\mathbb{R}^n)^\star\]
che ad ogni punto \(p\) associa un covettore \(\omega_p\) in esso applicato. Quando la mappa è liscia questo oggetto si chiama forma differenziale (di ordine 1).
Ora ci possiamo porre il problema di generalizzare tali costruzioni a varietà diverse da \(\mathbb{R}^n\), facendo partire il carrozzone della geometria differenziale vera e propria. Ma l'idea di fondo è già, in larga parte, qui.
Tutte queste cose destano tanta curiosità, a tal punto da voler bypassare la triennale.
Ti capisco! Ma le basi non sono meno importanti! Certo, si potrebbero fare in meno tempo, questo sì!
Mi intrometto solo per fare i complimenti a maurer e a dissonance: siete bravissimi a dare un'idea a noi che siamo alle prime armi di cosa ci aspetta! Inoltre a leggere ciò che scrivete mi sento motivato e mi viene una gran voglia di studiare e di sbattermi!
Grazie Marco!!! 
Mi hai fatto contento.
Mi hai fatto contento.
"dissonance":
Mi hai fatto contento.
Anche a me! Ciò dimostra che ogni tanto riesco pure a farmi capire quando parlo!
"maurer":
Ciò dimostra che ogni tanto riesco pure a farmi capire quando parlo!
Concordo pienamente.
Comunque mi unisco ai complimenti, d'altronde non è possibile fare diversamente.
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