Covarianza, controvarianza e tensori
Trovo i testi che non vogliono addentrarsi in sofisticatezze matematiche scarsi e i testi che vi si addentrano folli: partono da considerazioni campate in aria, fatico a seguirli e mi sembra che non mi portino da nessuna parte.
-mi pare che tutto sia legato a come si trasformano le componenti ai cambi di base e che i tensori siano semplicemente mappe multilineari, non capisco perchè complicarsi la vita (ammesso che abbia ragione)
-mi pare di aver intravisto che quello che in gergo viene chiamato vettore covariante altro non sia che il trasposto di un vettore, le regole di trasformazione dovrebbero tornare... è vero?
- e i tensori di rango 2 sono di diversi tipi a seconda che abbiano come argomento (v,c),(c,v),(c,c),(v,v) dove v sta per vettore e c sta per covettore, perchè è legato a come si trasformano i vettori e i covettori.
Quanti errori sto facendo?
Vi ringrazio per l' (eventuale) attenzione e aiuto.
-mi pare che tutto sia legato a come si trasformano le componenti ai cambi di base e che i tensori siano semplicemente mappe multilineari, non capisco perchè complicarsi la vita (ammesso che abbia ragione)
-mi pare di aver intravisto che quello che in gergo viene chiamato vettore covariante altro non sia che il trasposto di un vettore, le regole di trasformazione dovrebbero tornare... è vero?
- e i tensori di rango 2 sono di diversi tipi a seconda che abbiano come argomento (v,c),(c,v),(c,c),(v,v) dove v sta per vettore e c sta per covettore, perchè è legato a come si trasformano i vettori e i covettori.
Quanti errori sto facendo?
Vi ringrazio per l' (eventuale) attenzione e aiuto.
Risposte
Sostanzialmente le cose che dici sono giuste. In effetti i tensori sono, semplicemente, applicazioni multilineari (lineari in tutti gli argomenti). La complicazione della vita che trovi in molti testi dipende dal (vecchio e obsoleto, secondo me) metodo di definire i tensori stessi.
Il concetto di varianza e covarianza è legato al modo in cui cambiano le espressioni locali (quindi le componenti) dei tensori. E sostanzialmente quello che asserisci sui tensori di rango 1 e 2 è essenzialmente esatto (almeno intuitivamente).
Se ti vuoi divertire, guarda questo libro:
Mikhail Itskov, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers: With Applications to Continuum Mechanics
Il concetto di varianza e covarianza è legato al modo in cui cambiano le espressioni locali (quindi le componenti) dei tensori. E sostanzialmente quello che asserisci sui tensori di rango 1 e 2 è essenzialmente esatto (almeno intuitivamente).
Se ti vuoi divertire, guarda questo libro:
Mikhail Itskov, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers: With Applications to Continuum Mechanics
Alla fine quindi mi sembra che l'algebra tensoriale sia una specie di problema di notazione... e niente più?
grazie per il riferimento! darò al più presto un'occhiata al libro, sperando di trovarlo in biblio.
grazie per il riferimento! darò al più presto un'occhiata al libro, sperando di trovarlo in biblio.
Ciao!
sto dando un'occhiata al libro che mi hai consigliato, non mi è molto chiaro perchè definisca la base duale come una base di V invece dovrebbe essere una base dello spazio duale o sbaglio? sto facendo casini con le definizioni forse?
sto dando un'occhiata al libro che mi hai consigliato, non mi è molto chiaro perchè definisca la base duale come una base di V invece dovrebbe essere una base dello spazio duale o sbaglio? sto facendo casini con le definizioni forse?
Di quale pagina stai parlando?
Ho la versione della Springer del 2007.
Introduce la base duale a pagina 8 come una base di $E^n$ quando ancora non ha accennato allo spazio duale dei funzionali lineari. Da come dice sembra sia una specie di base complementare ed in effetti ciò che dice sembra vero ma non riesco a fare un collegamento con chi chiama duale lo spazio dei funzionali lineari. Con il teorema di Riesz si può, ma non vedo perchè alcuni vettori dovrebbero trasformarsi in modo diverso per cambi di base.
Stasera darò una lettura più approfondita.
Introduce la base duale a pagina 8 come una base di $E^n$ quando ancora non ha accennato allo spazio duale dei funzionali lineari. Da come dice sembra sia una specie di base complementare ed in effetti ciò che dice sembra vero ma non riesco a fare un collegamento con chi chiama duale lo spazio dei funzionali lineari. Con il teorema di Riesz si può, ma non vedo perchè alcuni vettori dovrebbero trasformarsi in modo diverso per cambi di base.
Stasera darò una lettura più approfondita.
"Fox":
Con il teorema di Riesz si può, ma non vedo perchè alcuni vettori dovrebbero trasformarsi in modo diverso per cambi di base.
Forse ti può essere utile questa riflessione in cui sono incappato qualche giorno fa tra l'Herstein e il Brezis (non saprei dirti esattamente dove). Quando uno spazio vettoriale ha dimensione finita è isomorfo al proprio duale algebrico, ma l'isomorfismo non è canonico perché dipende dalla scelta di qualcosa: una base, ad esempio - e questo porta al concetto di base duale; oppure un prodotto scalare o anche una forma bilineare "non troppo brutta" (leggi: non degenere).
Quindi, è vero che identifichi gli spazi a prodotto scalare ai propri duali, e che questo continua ad essere (con opportune modifiche) negli spazi di Hilbert; ma a monte hai fissato un prodotto scalare.
ESEMPIO
In $RR^2$ con il dot product solito ogni forma lineare si ottiene fissando un argomento del prodotto:
$f_y: x\mapstox*y$ è una forma lineare, associata al vettore $y$.
Cambiamo prodotto scalare, introducendo il $(x, y)@(x', y')=2x x'+yy'$. L'associazione diventa
$g_y: x\mapsto x@y$, ed è diversa dalla precedente.
Ad esempio, $(1, 0)$ viene associato:
dalla prima applicazione alla forma lineare $dx$,
dalla seconda applicazione alla forma lineare $2dx$.
Hope this helps
Attento: la base definita come duale, in quel contesto, non è quella usuale (o almeno, non è immediatamente quella). Se tu hai uno spazio vettoriale $V$ con base $e_i$ definisci il duale di $V$, $V^\star$, come lo spazio vettoriale che ha la base duale $\varepsilon^j$ tali che $\varepsilon^j(e_i)=\delta_i^j$. Nel caso degli spazi euclidei la base definita duale è quella che risulta ortogonale alla base fissata rispetto al prodotto scalare (leggi bene le notazioni).
Più avanti ti farà vedere che queste due definizioni sono equivalenti e ti mostrerà come costruire il duale di uno spazio $V$ 8e, inoltre, ti spiegherà che quando parli di $RR^n$ trattare esso o il suo duale è la stessa cosa!).
Più avanti ti farà vedere che queste due definizioni sono equivalenti e ti mostrerà come costruire il duale di uno spazio $V$ 8e, inoltre, ti spiegherà che quando parli di $RR^n$ trattare esso o il suo duale è la stessa cosa!).
"ciampax":
Più avanti ti farà vedere che queste due definizioni sono equivalenti e ti mostrerà come costruire il duale di uno spazio $V$ 8e, inoltre, ti spiegherà che quando parli di $RR^n$ trattare esso o il suo duale è la stessa cosa!).
Ok allora pazienterò...
ti ringrazio
"dissonance":
ma l'isomorfismo non è canonico perché dipende dalla scelta di qualcosa: una base, ad esempio - e questo porta al concetto di base duale
in che senso dipende dalla base scusa? ogni vettore visto a sx (o a dx) di un prodotto scalare rappresenta una applicazione lineare e questo è vero in ogni base lo si guardi, no?
grazie per il contributo
"Fox":
in che senso dipende dalla base scusa? ogni vettore visto a sx (o a dx) di un prodotto scalare rappresenta una applicazione lineare e questo è vero in ogni base lo si guardi, no?
Questa era proprio la domanda che mi ero posto io. In realtà nel momento in cui rappresenti le forme lineari bloccando un argomento del prodotto scalare hai comunque fissato una convenzione: appunto la scelta del prodotto scalare.
Potevamo prendere un altro prodotto scalare, (come quello di prima: $(x, y)@(x', y')=2x x'+y y'$ ) ottenendo una rappresentazione diversa del duale, nel senso che a vettori uguali corrispondono forme lineari diverse.
Comunque non vorrei confondere - ascolta ciampax che è molto più bravo di me.
A proposito, @ciampax: ti ringrazio per aver suggerito questo libro, anche io sono alla ricerca di un manuale introduttivo all'algebra tensoriale. Ho consultato un sample di questo Itskov e mi garba assai.
Vorrei spezzare una lancia in favore della "vecchia" definizione di tensore, che si deve a Ricci-Curbastro e Levi-Civita, partendo soprattutto dal presupposto che una definizione deve essere funzionale alla necessità.
La definzione di tensore che si basa sulle regole di trasformazione delle sue componenti per una trasformazione di coordinate è estremamente utile alla teoria della relatività. La relatività, si può dire, è un tutt'uno con i tensori.
Questo essenzialmente per due motivi.
In relatività giocano un ruolo fondamentale alcuni invarianti (per trasformazioni arbitrarie di coordinate) quali l'elemento di distanza $ds^2$ e la curvatura scalare $R$. Tali invarianti sono espressioni algebriche di tensori covarianti e controvarianti.
Infine, se una legge fisica è esprimibile in una forma tensoriale tipo $T_{ij} = 0$ (per semplicità mi limito a questo solo caso), a causa delle leggi di trasformazione che definiscono i tensori, facendo appunto una trasformazione arbitraria, l'equazione che si ottiene avrà la stessa forma. Questo semplice fatto soddisfa il principio di relatività generale secondo il quale una legge fisica deve essere la stessa in ogni sistema di coordinate (della varietà quadridimensionale pseudo-riemanniana che rappresenta il cronotopo). Questo è un fatto fondamentale.
Spero di essere stato utile nell'inquadrare meglio il concetto di tensore, oggetto cosi importante e proficuo.
La definzione di tensore che si basa sulle regole di trasformazione delle sue componenti per una trasformazione di coordinate è estremamente utile alla teoria della relatività. La relatività, si può dire, è un tutt'uno con i tensori.
Questo essenzialmente per due motivi.
In relatività giocano un ruolo fondamentale alcuni invarianti (per trasformazioni arbitrarie di coordinate) quali l'elemento di distanza $ds^2$ e la curvatura scalare $R$. Tali invarianti sono espressioni algebriche di tensori covarianti e controvarianti.
Infine, se una legge fisica è esprimibile in una forma tensoriale tipo $T_{ij} = 0$ (per semplicità mi limito a questo solo caso), a causa delle leggi di trasformazione che definiscono i tensori, facendo appunto una trasformazione arbitraria, l'equazione che si ottiene avrà la stessa forma. Questo semplice fatto soddisfa il principio di relatività generale secondo il quale una legge fisica deve essere la stessa in ogni sistema di coordinate (della varietà quadridimensionale pseudo-riemanniana che rappresenta il cronotopo). Questo è un fatto fondamentale.
Spero di essere stato utile nell'inquadrare meglio il concetto di tensore, oggetto cosi importante e proficuo.
"dissonance":
[quote="Fox"]in che senso dipende dalla base scusa? ogni vettore visto a sx (o a dx) di un prodotto scalare rappresenta una applicazione lineare e questo è vero in ogni base lo si guardi, no?
Questa era proprio la domanda che mi ero posto io. In realtà nel momento in cui rappresenti le forme lineari bloccando un argomento del prodotto scalare hai comunque fissato una convenzione: appunto la scelta del prodotto scalare.
[/quote]
cioè nel senso che ho fissato una base in cui esprimere il vettore "bloccato" (quello a dx o sx nel prodotto scalare) e un prodotto scalare. Ok.
@anonymous_af8479: giusto, hai centrato il punto!
"anonymous_af8479":
In relatività giocano un ruolo fondamentale alcuni invarianti (per trasformazioni arbitrarie di coordinate) quali l'elemento di distanza ds2 e la curvatura scalare R. Tali invarianti sono espressioni algebriche di tensori covarianti e controvarianti.
Infine, se una legge fisica è esprimibile in una forma tensoriale tipo Tij=0 (per semplicità mi limito a questo solo caso), a causa delle leggi di trasformazione che definiscono i tensori, facendo appunto una trasformazione arbitraria, l'equazione che si ottiene avrà la stessa forma. Questo semplice fatto soddisfa il principio di relatività generale secondo il quale una legge fisica deve essere la stessa in ogni sistema di coordinate (della varietà quadridimensionale pseudo-riemanniana che rappresenta il cronotopo). Questo è un fatto fondamentale.
è vero che tutto ciò si basa sulle regole di trasformazione, ma partire da esse per la definizione degli oggetti geometrici come vettori e tensori mi lascia perplesso...
sarà solo questione di abitudine forse, ma definire un vettore come un oggetto con 3 componenti che si trasforma in quel modo mi fa perdere i ragionamenti intuitivi che avevo sviluppato sui vettori...
Definire un vettore covariante come un vettore che si trasforma nell'altro modo poi mi sembrava un'assurdità appena l'ho letta.
Poi mi è venuto in mente che poteva essere un vettore trasposto, tuttora non capisco perchè non lo si può chiamare con un nome familiare.
Tuttavia concordo con
"anonymous_af8479":
Vorrei spezzare una lancia in favore della "vecchia" definizione di tensore, che si deve a Ricci-Curbastro e Levi-Civita, partendo soprattutto dal presupposto che una definizione deve essere funzionale alla necessità.
e nella relatività serve proprio trovare leggi che rispettino il terzo principio.
è come se mi mancasse un collegamento tra la definizione astratta e gli oggetti che sono abituato a pensare. Forse cè qualcosa che non vedo.
Ci penserò...
Sì, inizialmente l'approccio ai tensori definiti in base a come si trasformano può sembrare astratto e strano. Poi, usandoli, ci si fa l'abitudine ... e diventano familiari ...
Personalmente, mi sono abituato a "visualizzare" le cose utilizzando le superfici di $RR^3$ che poi, storicamente, costituiscono la base su cui è stata sviluppata la geometria riemanniana ed anche il calcolo tensoriale.
Come aiuto, mi permetto di consigliare l'ottima e chiara introduzione ai tensori che ha fatto Luca nel nostro libro sulla relatività http://www.arrigoamadori.com/lezioni/libro.htm .
Personalmente, mi sono abituato a "visualizzare" le cose utilizzando le superfici di $RR^3$ che poi, storicamente, costituiscono la base su cui è stata sviluppata la geometria riemanniana ed anche il calcolo tensoriale.
Come aiuto, mi permetto di consigliare l'ottima e chiara introduzione ai tensori che ha fatto Luca nel nostro libro sulla relatività http://www.arrigoamadori.com/lezioni/libro.htm .
Ti ringrazio,
comunque conoscevo già il tuo sito, ci ero capitato diverse volte cercando su internet e molte di esse è stato chiarificante, complimenti.
Tornando alla questione matematica e scendendo sulla terra, pensavo:
siano ${e_1,e_2,...,e_n}$ e ${g_1,g_2,...,g_n}$ 2 basi di uno stesso spazio vettoriale.
sia R la matrice tale che
$\forall i \qquad g_i=\sum_j R_{ij} e_j$ o detto in altre parole la matrice la cui colonna i-esima è formata dalle componenti dell' elemento $g_i$ nella vecchia base ${e_1,e_2,...,e_n}$ cioè la matrice cambio di base da e a g.
con un certo abuso di notazione posso scrivere $((g_1),(g_2),(.),(.),(.),(g_n))=R*((e_1),(e_2),(.),(.),(.),(e_n))$
un vettore $x=\sum_i x^i e_i$ può d'altronde essere espresso anche nella base ${g_1,g_2,...,g_n} \qquad x=\sum_i q^i g_i$ dove si vede con qualche semplice passaggio $q=R*x$
L'ho fatta lunga perchè volevo che fosse evidente ogni passaggio, comunque alla fine sia la base che le componenti trasformano allo stesso modo, ma la stessa matrice nei due contesti assume un "senso" diverso.
Per spiegare quest'ultima affermazione mi avvalerò del classico esempio nel piano:
basi ${i,j}$ e ${i',j'}$
$\{(i'=cos(\phi)*i+sin(\phi)*j),(j'=-sin(\phi)*i+cos(\phi)*j):}$
se vado a vedere come variano le componenti trovo
$\{(x'=cos(\phi)*x+sin(\phi)*y),(y'=-sin(\phi)*x+cos(\phi)*y):}$
e se metto ad esempio dei numeri:
vettore di partenza nella base canonica $i,j \qquad x=[1]/[sqrt(2)]$ e $y=[1]/[sqrt(2)]$
e la base $i',j'$ è la base ruotata di $[\pi]/[4]$ si vede bene che la stessa matrice $R=((cos(\phi),sin(\phi)),(-sin(\phi),cos(\phi)))=(([1]/[sqrt(2)],[1]/[sqrt(2)]),(-[1]/[sqrt(2)],[1]/[sqrt(2)]))$ ruota in 2 sensi diversi.
Mi domandavo se questo c'entrava qualcosa con vettori e covettori, qualcuno mi potrebbe far vedere il nesso?
comunque conoscevo già il tuo sito, ci ero capitato diverse volte cercando su internet e molte di esse è stato chiarificante, complimenti.
Tornando alla questione matematica e scendendo sulla terra, pensavo:
siano ${e_1,e_2,...,e_n}$ e ${g_1,g_2,...,g_n}$ 2 basi di uno stesso spazio vettoriale.
sia R la matrice tale che
$\forall i \qquad g_i=\sum_j R_{ij} e_j$ o detto in altre parole la matrice la cui colonna i-esima è formata dalle componenti dell' elemento $g_i$ nella vecchia base ${e_1,e_2,...,e_n}$ cioè la matrice cambio di base da e a g.
con un certo abuso di notazione posso scrivere $((g_1),(g_2),(.),(.),(.),(g_n))=R*((e_1),(e_2),(.),(.),(.),(e_n))$
un vettore $x=\sum_i x^i e_i$ può d'altronde essere espresso anche nella base ${g_1,g_2,...,g_n} \qquad x=\sum_i q^i g_i$ dove si vede con qualche semplice passaggio $q=R*x$
L'ho fatta lunga perchè volevo che fosse evidente ogni passaggio, comunque alla fine sia la base che le componenti trasformano allo stesso modo, ma la stessa matrice nei due contesti assume un "senso" diverso.
Per spiegare quest'ultima affermazione mi avvalerò del classico esempio nel piano:
basi ${i,j}$ e ${i',j'}$
$\{(i'=cos(\phi)*i+sin(\phi)*j),(j'=-sin(\phi)*i+cos(\phi)*j):}$
se vado a vedere come variano le componenti trovo
$\{(x'=cos(\phi)*x+sin(\phi)*y),(y'=-sin(\phi)*x+cos(\phi)*y):}$
e se metto ad esempio dei numeri:
vettore di partenza nella base canonica $i,j \qquad x=[1]/[sqrt(2)]$ e $y=[1]/[sqrt(2)]$
e la base $i',j'$ è la base ruotata di $[\pi]/[4]$ si vede bene che la stessa matrice $R=((cos(\phi),sin(\phi)),(-sin(\phi),cos(\phi)))=(([1]/[sqrt(2)],[1]/[sqrt(2)]),(-[1]/[sqrt(2)],[1]/[sqrt(2)]))$ ruota in 2 sensi diversi.
Mi domandavo se questo c'entrava qualcosa con vettori e covettori, qualcuno mi potrebbe far vedere il nesso?
Beh, se si rimane in uno spazio euclideo, con tensore metrico $g_{ij} = \delta_{ij}$ (la matrice unità), la differenza fra componenti covarianti e controvarianti non si coglie, esse coincidono.
Le formule, per un vettore, sono :
$A^i = g^{ij} A_j$, $A_i = g_{ij} A^j$,
dove vale la convenzione di Einstein con la quale si sottintende la sommatoria per gli indici ripetuti.
Per i tensori, le formule sono analoghe e sempre coinvolgenti il tensore metrico.
La differenza fra componenti covarianti e controvarianti si coglie su varietà riemanniane non euclidee ...
ps. Fox, ti ringrazio per i complimenti !
Le formule, per un vettore, sono :
$A^i = g^{ij} A_j$, $A_i = g_{ij} A^j$,
dove vale la convenzione di Einstein con la quale si sottintende la sommatoria per gli indici ripetuti.
Per i tensori, le formule sono analoghe e sempre coinvolgenti il tensore metrico.
La differenza fra componenti covarianti e controvarianti si coglie su varietà riemanniane non euclidee ...
ps. Fox, ti ringrazio per i complimenti !
uff... non ho mai faticato tanto... a parte le definizioni alte volevo vedere che cosa sono questi oggetti.
il tensore metrico è la prima forma fondamentale volendo parlare con il linguaggio della geometria differenziale?
A questo punto mi attacco a tutto, come si vedono degli esempi di covettori?
il covettore è un vettore trasposto?
non lo so mi sembra di essere rincretinito
il tensore metrico è la prima forma fondamentale volendo parlare con il linguaggio della geometria differenziale?
A questo punto mi attacco a tutto, come si vedono degli esempi di covettori?
il covettore è un vettore trasposto?
non lo so mi sembra di essere rincretinito
Sì, certo, il lavoro di Gauss è il punto di partenza !
I coefficienti della prima forma fondamentale $E$, $F$, $G$ (per le superfici regolari di $RR^3$) sono le componenti del tensore metrico fondamentali. Esattamente:
$g_{11} = E$, $g_{12} = g_{21} = F$, $g_{22} = G$ .
Se prendi un $g_{ij}$ e fai un cambiamento di coordinate, per esempio, se su di una sfera passi dalle coordinate sferiche (colatitudine e longitudine) alle coordinate stereografiche, ti accorgi che il tensore metrico nelle nuove coordinate è cambiato, rispetto a quello nelle vecchie, esattamente come indicato dalle formule generali di trasformazione di un tensore covariante a due indici (di cui questo è un esempio particolare) ...
Poi, con il tensore metrico ci costruisci tutto il resto : derivata covariante, tensore di Riemann, tensore di Ricci, curvatura scalare ...
Tieni però presente che la geometria differenziale la si può fare senza il concetto di tensore (come ente che si trasforma in un certo modo). Per esempio, il Do Carmo menziona i tensori in sole tre facciate e mezza, giusto per accontentare chi ne fa uso ...
C'è poi la definizione di tensore, che chiamerei algebrica, quella cioè che lo mostra come applicazione multilineare da $V^n$ ad $R$, dove $V$ è uno spazio vettoriale qualunque. Secondo questa definizione, un prodotto interno, per esempio, è un 2-tensore, un determinante è un n-tensore alternante, dove $n$ è la dimensione della matrice ecc..
Ci sono poi altre definizioni di tensore che coinvolgono il duale ecc ecc.
Tutte queste definizioni hanno ovviamente qualcosa in comune e sarebbe bello indagare in questa direzione.
Ritengo infine che uno usi i vari "tipi" di tensore come più gli fa comodo ...
ps. i covettori non li conosco, sorry, e neanche il vettore trasposto ... come vedi, il mondo è bello perchè vario e multiforme ...
I coefficienti della prima forma fondamentale $E$, $F$, $G$ (per le superfici regolari di $RR^3$) sono le componenti del tensore metrico fondamentali. Esattamente:
$g_{11} = E$, $g_{12} = g_{21} = F$, $g_{22} = G$ .
Se prendi un $g_{ij}$ e fai un cambiamento di coordinate, per esempio, se su di una sfera passi dalle coordinate sferiche (colatitudine e longitudine) alle coordinate stereografiche, ti accorgi che il tensore metrico nelle nuove coordinate è cambiato, rispetto a quello nelle vecchie, esattamente come indicato dalle formule generali di trasformazione di un tensore covariante a due indici (di cui questo è un esempio particolare) ...
Poi, con il tensore metrico ci costruisci tutto il resto : derivata covariante, tensore di Riemann, tensore di Ricci, curvatura scalare ...
Tieni però presente che la geometria differenziale la si può fare senza il concetto di tensore (come ente che si trasforma in un certo modo). Per esempio, il Do Carmo menziona i tensori in sole tre facciate e mezza, giusto per accontentare chi ne fa uso ...
C'è poi la definizione di tensore, che chiamerei algebrica, quella cioè che lo mostra come applicazione multilineare da $V^n$ ad $R$, dove $V$ è uno spazio vettoriale qualunque. Secondo questa definizione, un prodotto interno, per esempio, è un 2-tensore, un determinante è un n-tensore alternante, dove $n$ è la dimensione della matrice ecc..
Ci sono poi altre definizioni di tensore che coinvolgono il duale ecc ecc.
Tutte queste definizioni hanno ovviamente qualcosa in comune e sarebbe bello indagare in questa direzione.
Ritengo infine che uno usi i vari "tipi" di tensore come più gli fa comodo ...
ps. i covettori non li conosco, sorry, e neanche il vettore trasposto ... come vedi, il mondo è bello perchè vario e multiforme ...
Ah, sì, certo, i covettori sono i vettori del duale ...
"Tutte queste definizioni hanno ovviamente qualcosa in comune e sarebbe bello indagare in questa direzione."
E' questo il problema per chi oggi affronta il calcolo tensoriale, in pratica la separazione tra l'algebra e il calcolo differenziale.
Nell'indirizzo 'moderno (?)' c'é poco del "calcul differential absolu" di Ricci e Levi-Civita così utile in fisica e nelle scienze applicate.
E' questo il problema per chi oggi affronta il calcolo tensoriale, in pratica la separazione tra l'algebra e il calcolo differenziale.
Nell'indirizzo 'moderno (?)' c'é poco del "calcul differential absolu" di Ricci e Levi-Civita così utile in fisica e nelle scienze applicate.
Proviamo un confronto fra le due definizioni (la "vecchia" e la "nuova") con il seguente esempio.
Definizione vecchia.
In relatività, la formula fondamentale è :
$ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$ (con le somme sottintese per gli indici ripetuti).
L'oggetto $g_{ij}$ è detto tensore metrico ed è un tensore di ordine due totalmente covariante (si trasforma, in un cambiamento di coordinate, nel modo previsto in questo caso).
Definizione nuova (scelta fra le diverse che conosco).
Il funzionale :
$\phi = g_{ij} X^i Y^j$ (con le somme sottintese per gli indici ripetuti),
dove $X^i$ e $Y^j$ sono vettori dello spazio vettoriale $V$, è un 2-tensore, poiche si tratta di un'applicazione multilineare di $VxV$ ad $R$.
Il fatto saliente è che, mentre nella vecchia definizione il tensore è il sistema di funzioni $g_{ij}$, nella nuova definizione, il tensore è tutto il funzionale ...
Comunque, i coefficienti della seconda definizione coincidono con il tensore della prima definizione, per cui le due definizioni mi sembrano equivalenti ...
Giusto ?
Definizione vecchia.
In relatività, la formula fondamentale è :
$ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$ (con le somme sottintese per gli indici ripetuti).
L'oggetto $g_{ij}$ è detto tensore metrico ed è un tensore di ordine due totalmente covariante (si trasforma, in un cambiamento di coordinate, nel modo previsto in questo caso).
Definizione nuova (scelta fra le diverse che conosco).
Il funzionale :
$\phi = g_{ij} X^i Y^j$ (con le somme sottintese per gli indici ripetuti),
dove $X^i$ e $Y^j$ sono vettori dello spazio vettoriale $V$, è un 2-tensore, poiche si tratta di un'applicazione multilineare di $VxV$ ad $R$.
Il fatto saliente è che, mentre nella vecchia definizione il tensore è il sistema di funzioni $g_{ij}$, nella nuova definizione, il tensore è tutto il funzionale ...
Comunque, i coefficienti della seconda definizione coincidono con il tensore della prima definizione, per cui le due definizioni mi sembrano equivalenti ...
Giusto ?
Giusto, (adesso posso dirlo perché credo di averci capito qualcosa)
ma la definizione "nuova" io la trovo più intuitiva, dopo si va a vedere come si trasforma e si dicono le regole.
Partire da esse per la definizione mi sembra un fulmine a ciel sereno. Mi aveva lasciato totalmente disorientato.
A tale proposito vi voglio ringraziare per il supporto fornitomi, perchè grazie a riflessioni e consigli ne sono uscito.
ma la definizione "nuova" io la trovo più intuitiva, dopo si va a vedere come si trasforma e si dicono le regole.
Partire da esse per la definizione mi sembra un fulmine a ciel sereno. Mi aveva lasciato totalmente disorientato.
A tale proposito vi voglio ringraziare per il supporto fornitomi, perchè grazie a riflessioni e consigli ne sono uscito.
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