Covarianza, controvarianza e tensori
Ciao a tutti,
per un esame di meccanica quantistica sto svolgendo un approfondimento sulla meccanica quantistica relativistica, con un testo consigliato dal professore. Sto incontrando un po' di difficoltà nella comprensione della posizione degli indici.
Facendo qualche ricerca ho capito che il problema risiede nella mia non conoscenza di tensori, e dei concetti di covarianza e controvarianza.
Ho fatto qualche ricerca su wikipedia, ma lasciamo stare...
Volevo chiedervi se conoscete qualche dispensa, anche giusto un'introduzione, a questi concetti.
Tra tutte le cose che non mi sono chiare, quella che proprio non riesco a capire è la posizione degli indici, soprattutto nei casi in cui vengono utilizzati sia "in alto" \(a^\nu \), sia "in basso" \(a^\mu \), sia "misti" \(a^\nu_{\; \mu} \).
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Ciao, Giovanni
per un esame di meccanica quantistica sto svolgendo un approfondimento sulla meccanica quantistica relativistica, con un testo consigliato dal professore. Sto incontrando un po' di difficoltà nella comprensione della posizione degli indici.
Facendo qualche ricerca ho capito che il problema risiede nella mia non conoscenza di tensori, e dei concetti di covarianza e controvarianza.
Ho fatto qualche ricerca su wikipedia, ma lasciamo stare...
Volevo chiedervi se conoscete qualche dispensa, anche giusto un'introduzione, a questi concetti.
Tra tutte le cose che non mi sono chiare, quella che proprio non riesco a capire è la posizione degli indici, soprattutto nei casi in cui vengono utilizzati sia "in alto" \(a^\nu \), sia "in basso" \(a^\mu \), sia "misti" \(a^\nu_{\; \mu} \).
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Ciao, Giovanni
Risposte
"Bokonon":
Hai guardato anche questo topic su Wiki?
https://it.wikipedia.org/wiki/Notazione_di_Einstein
Molto utile, leggendo non mi è chiara però perché nel prodotto scalare tra due vettori dello stesso spazio, una volta l'indice è covariante e una volta controvariante, ovvero \[
mentre, normalmente scriverei \[
E certo, perché il prodotto scalare non si può fare semplicemente contraendo gli indici. Prendi due campi vettoriali, ovvero due tensori con un solo indice controvariante ("controvariante" qui significa semplicemente "alto"). Siano essi \(x^\mu\) e \(y^\mu\). Come fai ad appiccicarli insieme? La notazione di Einstein richiede che si possano contrarre solo indici bassi con indici alti.
La soluzione è che ci vuole una *metrica*, un tensore con due indici covarianti (ovvero, due indici bassi). Di solito si indica con \(g_{\mu \nu}\). Così si può formare il prodotto scalare:
\[
\langle x, y\rangle = g_{\mu \nu} x^\mu y^\nu.\]
Ora, come mi hanno spiegato anni fa, i fisici si scocciano a scrivere sempre questa metrica, perché di solito è fissata una volta per tutte. Quindi, loro usano una convenzione. Se in un tensore un indice viene alzato o abbassato, allora è implicito che sia stata usata una metrica. Nel nostro caso, noi abbiamo definito \(x^\mu\) e \(y^\nu\). Se ad un certo punto del testo troviamo \(x_\mu\) o \(y_\nu\), dobbiamo leggerli come
\[
x_{\mu}=g_{\mu \rho}x^\rho, \quad y_{\nu}=g_{\nu \rho}y^\rho.\]
Usando questa convenzione, la formula del prodotto scalare si riscrive
\[
\langle x, y \rangle= x_\mu y^\mu.\]
Nota che questa è ESATTAMENTE la stessa cosa di prima, solo che con la nostra convenzione sugli indici ci siamo risparmiati di scrivere la metrica.
Se sei agli inizi con i tensori, mi permetto di consigliarti questa introduzione di Sharipov:
https://arxiv.org/abs/math/0403252
Un appunto finale, visto che dicevi di esserti perso nel fare ricerche sui termini "controvariante" e "covariante": questi termini hanno anche un altro uso in matematica, che però non c'entra con quello di questo post. Attenzione a non confonderti.
La soluzione è che ci vuole una *metrica*, un tensore con due indici covarianti (ovvero, due indici bassi). Di solito si indica con \(g_{\mu \nu}\). Così si può formare il prodotto scalare:
\[
\langle x, y\rangle = g_{\mu \nu} x^\mu y^\nu.\]
Ora, come mi hanno spiegato anni fa, i fisici si scocciano a scrivere sempre questa metrica, perché di solito è fissata una volta per tutte. Quindi, loro usano una convenzione. Se in un tensore un indice viene alzato o abbassato, allora è implicito che sia stata usata una metrica. Nel nostro caso, noi abbiamo definito \(x^\mu\) e \(y^\nu\). Se ad un certo punto del testo troviamo \(x_\mu\) o \(y_\nu\), dobbiamo leggerli come
\[
x_{\mu}=g_{\mu \rho}x^\rho, \quad y_{\nu}=g_{\nu \rho}y^\rho.\]
Usando questa convenzione, la formula del prodotto scalare si riscrive
\[
\langle x, y \rangle= x_\mu y^\mu.\]
Nota che questa è ESATTAMENTE la stessa cosa di prima, solo che con la nostra convenzione sugli indici ci siamo risparmiati di scrivere la metrica.
Se sei agli inizi con i tensori, mi permetto di consigliarti questa introduzione di Sharipov:
https://arxiv.org/abs/math/0403252
Un appunto finale, visto che dicevi di esserti perso nel fare ricerche sui termini "controvariante" e "covariante": questi termini hanno anche un altro uso in matematica, che però non c'entra con quello di questo post. Attenzione a non confonderti.
Del resto, esiste un motivo per cui "le altre cose" (che non diciamo cosa sono, ci sono dei bambini in giro) si chiamano covarianti e controvarianti.
Grazie mille a dissonance per la spiegazione e per la dispensa!
"fmnq":
Del resto, esiste un motivo per cui "le altre cose" (che non diciamo cosa sono, ci sono dei bambini in giro) si chiamano covarianti e controvarianti.
Credo di non averla capita
Vi ringrazio ancora di cuore per l'aiuto. Ho provato a dare un'occhiata all'ultimo topic che hai linkato, in quanto bambino sono stato spaventato, e anche molto.
Ci vuole un po' di terminologia per chiarire la faccenda, ma col tempo mi sono convinto che l'analogia non è così debole.
(ho risposto di là)
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