Costruzione di una superficie regolare

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Sia $\alpha:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^3$ una curva parametrizzata secondo la lunghezza d'arco. Si definisca $\phi(s,v):\alpha(s)+v b(s)$ con $s \in [0,1]$ e $v \in (-\epsilon,\epsilon)$ per $\epsilon>0$ e $b(s)$ è il vettore binormale di $\alpha(s)$.
Si provi che se $\epsilon$ è piccolo allora $S:=\phi([0,1] \times (-\epsilon,\epsilon))$ è una superficie regolare.

Per fare ciò, ho pensato di far vedere quando $\phi$ è una parametrizzazione. Risulta che:
$\frac{\partial \phi}{\partial s}(s,v)=t(s)-v \tau (s) n(s)$
$\frac{\partial \phi}{\partial v}(s,v)=b(s)$
Visto che $t,n,b$ sono dei versori e sono ortogonali, mi sembra proprio che $\phi$ sia in ogni punto una parametrizzazione indipendendemente dall' $\epsilon$, che mi dice di quanto sto "sollevando" la curva $\alpha$ in direzione di $b$.

Un'altra cosa che non capisco di questo esercizio è che se, ad esempio, ho $\alpha$ curva piana con un'autointersezione e la sollevo lungo la direzione data da $b$, non posso sperare di ottenere di ottenere una superficie regolare perchè ho una retta di punti che non rispettano la definizione di varietà.

Dove sbaglio?

[ciampax]

Che la parametrizzazione sia regolare deriva dal fatto che [tex]$\phi_s\times\phi_\nu\ne 0$[/tex] in ogni punto (fai il calcolo).
Se invece hai una autointersezione, ciò che accade (supponi la curva nel piano $xOy$ e quindi con $b=e_3$) è che la superficie non risulta semplice (nel senso che non puoi costruire adeguatamente dei ricoprimenti per la stessa con delle carte locali) ma la superficie continua ad essere regolare (nel senso precedente). Non vedo quale sia il problema.

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Mi sbaglierò ma una superficie è per definizione uno spazio topologico per cui per ogni suo punto esiste un intorno aperto omeomorfo ad un aperto di $\mathbb{R}^2$. Quindi se considero una curva non semplice, la retta per il punto di autointersezione di direzione $b(s)$ è fatta di punti che non verificano tale condizione. Ad esempio, se ad una retta di un cilindro circolare attacco due piani non ottengo più una superficie secondo me.

Non ho allegato i conti del fatto che $ \phi_s\times\phi_\v \ne 0$ perchè per come sono scritti $\phi_s$ e $\phi_\u $ non possono essere proporizionali. Ma anche questo fatto non mi torna perchè così mi verrebbe da dire che $S$ è una superficie regolare indipendentemente dall'$\epsilon$.

[ciampax]

Calmo, qui dobbiamo capire che definizioni stiamo usando: una superficie regolare è, semplicemente, quella per cui la sua parametrizzazione è di classe $C^m$ e per la quale il rango della Jacobiana è dappertutto massimo (o, equivalentemente, $\phi_u\times\phi_v\ne 0$ in ogni punto). Se in più richiedi che esista un ricoprimento di carte locali per cui: 1) ad ogni punto della superficie resta associato almeno una tale carta; 2) ognuna di queste carte è localmente omeomorfa ad un sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$, allora la superficie si dice semplice.

Pertanto puoi avere parametrizzazioni regolari che non sono semplici (come in questo caso).

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Sono definizioni che mi fanno crollare tanti corsi di analisi e geometria!

[ciampax]

Guarda, io sto ragionando da "geometra differenziale" in questo senso: se voglio parlare di varietà suppongo, implicitamente, che esista un atlante di classe $C^m$ che abbia tutte le sue belle proprietà. Il fatto è che, al fine di costruire la parametrizzazione regolare che "rappresenti" la tua superficie, hai solo bisogno delle "proprietà di regolarità" della stessa (e quindi le proprietà di "derivabilità" se vuoi). Il fatto che la parametrizzazione sia regolare ti assicura che, localmente vicino ad un punto, tu possa trovare il grafico della superficie (Teorema della funzione implicita) ma non ti dice se, prendendo una serie di questi "insiemi" (uno per ogni punto) questi costituiscano effettivamente un atlante. Chiaro? Come vedi, puoi avere tranquillamente una superficie con "parametrizzazione" regolare che, tuttavia, può non ammettere un atlante (massimale) ben definito. Del resto questo sta alla base del fatto che ci sono certe varietà (dette "sfere esotiche") sulla quale esistono atlanti massimali non diffeomorfi tra loro (Teorema di Milnor). Comunque, questo è un argomento che va oltre i tuoi propositi: quello che ti basta sapere è che se la superficie la vuoi considerare come "varietà" (e quindi con le proprietà topologiche) allora necessariamente devi aggiungere la proprietà degli atlanti, altrimenti ciò che hai è, semplicemente, una superficie definita da una mappa di classe $C^m$, a seconda della regolarità che cerchi.