Costruzione di Applicazioni lineari
Salve , avrei dei dubbi su questi due punti di un'esercizio:
Siano date le basi $U = (1,1,0,0),(0,-1,0,0) $ e $ V = (1,0,0,0),(0,1,1,1)$
A ) Stabilire se esiste una matrice A ∈ M4(R) avente U e V come autospazi (relativi a due autovalori diversi).
B ) Costruire, se possibile, una funzione lineare $f : R^4 → R^4$ tale che $ker(f) = U, Im(f) = V $.
Allora la A) secondo me non esiste, perchè due autospazi relativi a due autovalori diversi sono in somma diretta ( e non è questo il caso).
Il punto B invece è possibile? Ad esempio: $ f(1,1,0,0) = (0,0,0,0) f(0,-1,0,0) = (0,0,0,0) $ $f(0,0,1,0) = (1,0,0,0) f(0,0,0,1) = (0,1,1,1)$
Ha senso quest'applicazione? Il nucleo di un'applicazione lineare può avere intersezione non banale con l'immagine?
Ps: un dubbio sulle matrici: E' vero che Se $A = P^-1 B P$ allora $ B = P A P^-1 $ ?
Siano date le basi $U = (1,1,0,0),(0,-1,0,0) $ e $ V = (1,0,0,0),(0,1,1,1)$
A ) Stabilire se esiste una matrice A ∈ M4(R) avente U e V come autospazi (relativi a due autovalori diversi).
B ) Costruire, se possibile, una funzione lineare $f : R^4 → R^4$ tale che $ker(f) = U, Im(f) = V $.
Allora la A) secondo me non esiste, perchè due autospazi relativi a due autovalori diversi sono in somma diretta ( e non è questo il caso).
Il punto B invece è possibile? Ad esempio: $ f(1,1,0,0) = (0,0,0,0) f(0,-1,0,0) = (0,0,0,0) $ $f(0,0,1,0) = (1,0,0,0) f(0,0,0,1) = (0,1,1,1)$
Ha senso quest'applicazione? Il nucleo di un'applicazione lineare può avere intersezione non banale con l'immagine?
Ps: un dubbio sulle matrici: E' vero che Se $A = P^-1 B P$ allora $ B = P A P^-1 $ ?
Risposte
Provo a rispondere
Per quanto riguarda la A) mi trovo con te: l'intersezione di $<>$ e $<>$ non è banale e si avrebbe dunque un autovettore a cui corrispondono due autovalori distinti, che è assurdo.
Per la B) la tua applicazione ha senso perché la costruita a partire da una base di $\RR^4$ e la sua matrice rispetto il riferimento canonico è
$((0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,0,0,1),(0,0,0,1))$
da cui $Im f=<>$
Sì il nucleo e l'immagine possono avere intersezione non banale. Ad esempio, l'endomorfismo derivata $D$ di $\RR_3[x]$ è tale che $ker D=<<1>>$ e $Im D=<<1,x,x^2>>$.
Per il p.s: $(M_4(\RR),*)$ è un semigruppo unitario, cioè è stabile, vale la proprietà associativa e ed esiste l'elemento neutro. Una matrice $A$ si dice regolare se è cancellabile a destra e a sinistra, cioè se $AX=AY =>X=Y$ e $XA=YA =>X=Y$. Ora si può dimostrare che le matrici invertibili sono regolari
Tornando a noi, $P$ e $P^-1$ sono invertibili e quindi se $A=P^-1BP$, puoi moltiplicare a destra per $P^-1$ e a sinistra per $P$ ottenendo la tua relazione
Per quanto riguarda la A) mi trovo con te: l'intersezione di $<>$ e $<
Per la B) la tua applicazione ha senso perché la costruita a partire da una base di $\RR^4$ e la sua matrice rispetto il riferimento canonico è
$((0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,0,0,1),(0,0,0,1))$
da cui $Im f=<
Sì il nucleo e l'immagine possono avere intersezione non banale. Ad esempio, l'endomorfismo derivata $D$ di $\RR_3[x]$ è tale che $ker D=<<1>>$ e $Im D=<<1,x,x^2>>$.
Per il p.s: $(M_4(\RR),*)$ è un semigruppo unitario, cioè è stabile, vale la proprietà associativa e ed esiste l'elemento neutro. Una matrice $A$ si dice regolare se è cancellabile a destra e a sinistra, cioè se $AX=AY =>X=Y$ e $XA=YA =>X=Y$. Ora si può dimostrare che le matrici invertibili sono regolari
Tornando a noi, $P$ e $P^-1$ sono invertibili e quindi se $A=P^-1BP$, puoi moltiplicare a destra per $P^-1$ e a sinistra per $P$ ottenendo la tua relazione
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