Costruzione applicazione lineare
Ho molti dubbi su questo fatto, vi posto un esercizio che no riesco a fare:
Si costruisca, se possibile, un'applicazione lineare $L : RR^3 --> RR^2$ tale che $Ker L= <(1,0,1),(1,1,0)>$ e $Im L =<(1,1)>$
come da regolamento vi pongo un mio tentativo:
Definisco $ f(v) =\sum a_i w_i$ come da manuale e dalle condizione poste trovo una base di $RR^3$ che soddisfi le condizioni richieste e dei vettori in arrivo:
mando :
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
da qui mi esce che :
\(\displaystyle f(v)=f(x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
per linearità mi esce che \(\displaystyle f(x,y,z)= z\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) ma.. mi sembra una cavolata e sicuramente sbaglio qualcosa concettualmente. help me please!
Si costruisca, se possibile, un'applicazione lineare $L : RR^3 --> RR^2$ tale che $Ker L= <(1,0,1),(1,1,0)>$ e $Im L =<(1,1)>$
come da regolamento vi pongo un mio tentativo:
Definisco $ f(v) =\sum a_i w_i$ come da manuale e dalle condizione poste trovo una base di $RR^3$ che soddisfi le condizioni richieste e dei vettori in arrivo:
mando :
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
da qui mi esce che :
\(\displaystyle f(v)=f(x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
per linearità mi esce che \(\displaystyle f(x,y,z)= z\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) ma.. mi sembra una cavolata e sicuramente sbaglio qualcosa concettualmente. help me please!
Risposte
pèerò facendo qualche verifica non mi torna nulla!! Aiutatemi!
L'idea è quella... è solo da formalizzare meglio.
Il $ Ker(f) $ è un sottospazio di $ RR^3 $ di dimensione $ 2 $ ; per il teorema di completamento di base esiste un vettore linearmente indipendente dai generatori del nucleo che unito a essi formano una base per lo spazio di partenza.
Adesso, per il teorema di esistenza e unicità, sai che c'è ed è unica l'applicazione $ f $ tale che:
$ f( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) =( ( 0 ),( 0 ) ) $ ;
$ f( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) =( ( 0 ),( 0 ) ) $ ;
$ f( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) =( ( 1 ),( 1 ) ) $ (ad esempio).
Quindi $ f( ( x ),( y ),( z ) ) =f(alpha( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+beta( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )+gamma( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ))=gamma( ( 1 ),( 1 ) ) $ .
Se vuoi scriverla per bene puoi trovare le espressioni di $ alpha, beta,gamma $ e definirla nel seguente modo:
$ f:RR^3->RR^2t.c.ul(v)=( ( x ),( y ),( z ) ) |-> f(ul(v))=( ( z-x+y ),( z-x+y ) ) $
Il $ Ker(f) $ è un sottospazio di $ RR^3 $ di dimensione $ 2 $ ; per il teorema di completamento di base esiste un vettore linearmente indipendente dai generatori del nucleo che unito a essi formano una base per lo spazio di partenza.
Adesso, per il teorema di esistenza e unicità, sai che c'è ed è unica l'applicazione $ f $ tale che:
$ f( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) =( ( 0 ),( 0 ) ) $ ;
$ f( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) =( ( 0 ),( 0 ) ) $ ;
$ f( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) =( ( 1 ),( 1 ) ) $ (ad esempio).
Quindi $ f( ( x ),( y ),( z ) ) =f(alpha( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+beta( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )+gamma( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ))=gamma( ( 1 ),( 1 ) ) $ .
Se vuoi scriverla per bene puoi trovare le espressioni di $ alpha, beta,gamma $ e definirla nel seguente modo:
$ f:RR^3->RR^2t.c.ul(v)=( ( x ),( y ),( z ) ) |-> f(ul(v))=( ( z-x+y ),( z-x+y ) ) $
"Pierlu11":
.
Se vuoi scriverla per bene puoi trovare le espressioni di $ alpha, beta,gamma $ e definirla nel seguente modo:
$ f:RR^3->RR^2t.c.ul(v)=( ( x ),( y ),( z ) ) |-> f(ul(v))=( ( z-x+y ),( z-x+y ) ) $
prima tutto ok, come passi da $ alpha, beta,gamma $ a $x,y,z$ ?
poi perché? io coefficienti son differenti? Il libro da cui sto studiando definisce (per dimostrarne l'esistenza ) f come:
$f(v)= a_1 w_1 +...+a_n w_n$ e $v=a_1 v_1+...+a_n v_n$ dove ${v_1,...,v_n}$ è una base dello spazio di partenza.
Visto che vuoi esprimere $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ come $ alpha( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+beta( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )+gamma( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ , basta risolvere il sistema che esce fuori da $ ( ( x ),( y ),( z ) )=alpha( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+beta( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )+gamma( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ cioè
$ { ( alpha+beta=x ),( beta=y ),( alpha+gamma=z ):}... $
$ { ( alpha+beta=x ),( beta=y ),( alpha+gamma=z ):}... $
ah!! perché $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ son le coordinate del generico vettore rispetto alla base canonica! (ma perché si fa ciò?)
Lo fai solo se, oltre a dire che esiste, vuoi esplicitare l'applicazione lineare scrivendo l'equazione dell'immagine del vettore generico
sembra più una comodità che necessità, una questione di "eleganza matematica".
In un certo senso si...se vuoi definire un'applicazione basta dire dove vengono mandati i vettori della base, esplicitarla è una formalità.
ah ecco questo volevo sentir dire (altrimenti non davo un senso a quello che facevo xD non ho ancora molto"gusto matematico")
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