Costruire un endomorfismo tale che f²=2f.
Ri-buongiorno a tutti,
sto quasi finendo gli esercizi disponibili e ormai mi sono rimasti solo quelli su cui non so proprio mettere le mani.
Io son partito prendendo una matrice M=$ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ e dicendo che M²=2M e arrivando ad un sistema di equazioni siffatto:
$ {: ( a²+bc=2a ),( a+d=2 ),( d²+bc=2d ) :} $
Ora sapendo che la dimensione è 2, posso dire che la matrice ha rango 1 o 2 (0 non può essere perchè mi ha detto che la matrice è non nulla).
Nel caso in cui sia 1, allora ad=bc, nel caso in cui sia 2, ad$!=$bc.
Qui mi son fermato.
Il sistema di per sè ammette infinite soluzioni (tra cui anche quelle giuste) però non sono riuscito ad andare più avanti di così.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie.
sto quasi finendo gli esercizi disponibili e ormai mi sono rimasti solo quelli su cui non so proprio mettere le mani.
Io son partito prendendo una matrice M=$ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ e dicendo che M²=2M e arrivando ad un sistema di equazioni siffatto:
$ {: ( a²+bc=2a ),( a+d=2 ),( d²+bc=2d ) :} $
Ora sapendo che la dimensione è 2, posso dire che la matrice ha rango 1 o 2 (0 non può essere perchè mi ha detto che la matrice è non nulla).
Nel caso in cui sia 1, allora ad=bc, nel caso in cui sia 2, ad$!=$bc.
Qui mi son fermato.
Il sistema di per sè ammette infinite soluzioni (tra cui anche quelle giuste) però non sono riuscito ad andare più avanti di così.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie.
Risposte
Io ragionerei in maniera un po' diversa. Come hai già osservato possiamo considerare due casi: quello in cui il determinante della matrice è nullo e quello in cui è diverso da zero.
Partiamo da quello in cui il determinante sia diverso da zero. In questo caso avremo che \(f\) è invertibile, per cui moltiplicando la relazione che definisce la matrice per l'inversa otteniamo
\[ f^2 = 2\,f \implies f^2\,f^{-1} = 2\,f\,f^{-1} \implies f = 2\,I_V. \]
A questo punto consideriamo il caso in cui il determinante sia uguale a zero. Se prendiamo il determinante e consideriamo questa relazione otteniamo semplicemente il sistema (non lineare):
\[ \begin{cases} a + d = 2 \\ a\,d = b\,c \end{cases} \]
che non ci aiuta più di tanto. O meglio, ci fornisce in effetti tutte le possibili matrici per cui questa relazione è verificata, ma non ci aiuta a dimostrare che esiste una base di \(V\) per cui la nostra matrice è data dalla matrice richiesta nell'esercizio. È probabilmente positivo il fatto che la matrice è soluzione del nostro sistema. Qualche idea quindi su come andare avanti? Devi trovare una base che semplifica questa matrice..
Partiamo da quello in cui il determinante sia diverso da zero. In questo caso avremo che \(f\) è invertibile, per cui moltiplicando la relazione che definisce la matrice per l'inversa otteniamo
\[ f^2 = 2\,f \implies f^2\,f^{-1} = 2\,f\,f^{-1} \implies f = 2\,I_V. \]
A questo punto consideriamo il caso in cui il determinante sia uguale a zero. Se prendiamo il determinante e consideriamo questa relazione otteniamo semplicemente il sistema (non lineare):
\[ \begin{cases} a + d = 2 \\ a\,d = b\,c \end{cases} \]
che non ci aiuta più di tanto. O meglio, ci fornisce in effetti tutte le possibili matrici per cui questa relazione è verificata, ma non ci aiuta a dimostrare che esiste una base di \(V\) per cui la nostra matrice è data dalla matrice richiesta nell'esercizio. È probabilmente positivo il fatto che la matrice è soluzione del nostro sistema. Qualche idea quindi su come andare avanti? Devi trovare una base che semplifica questa matrice..
Ciao, innanzitutto grazie.
Per la seconda parte io ho notato una cosa sulla diagonalizzazione che non so quanto c'entri.
Riscrivo la matrice come:
$ ( ( 2-d , b ),( c , d ) ) $
Calcolo il polinomio caratteristico:
$ (2-d-lambda)(d-lambda)-bc= (2-d-lambda)(d-lambda)-(2-d)d=0 $
che facendo un po' di calcoli viene:
$ (lambda-2)*lambda $
Vale a dire due autovalori distinti 2 e 0.
La matrice è diagonalizzabile e per l'appunto se provo a diagonalizzarla viene nientemeno che:
$ ( ( 0 , 0 ),( 0 , 2 ) ) $ ovvero quello che sto cercando.
Ripeto non so quanto c'entri. Mi è venuto in mente perchè mi sono accorto che la matrice che mi dava era diagonale.
Per la seconda parte io ho notato una cosa sulla diagonalizzazione che non so quanto c'entri.
Riscrivo la matrice come:
$ ( ( 2-d , b ),( c , d ) ) $
Calcolo il polinomio caratteristico:
$ (2-d-lambda)(d-lambda)-bc= (2-d-lambda)(d-lambda)-(2-d)d=0 $
che facendo un po' di calcoli viene:
$ (lambda-2)*lambda $
Vale a dire due autovalori distinti 2 e 0.
La matrice è diagonalizzabile e per l'appunto se provo a diagonalizzarla viene nientemeno che:
$ ( ( 0 , 0 ),( 0 , 2 ) ) $ ovvero quello che sto cercando.
Ripeto non so quanto c'entri. Mi è venuto in mente perchè mi sono accorto che la matrice che mi dava era diagonale.
L'idea è proprio quella.. Nota inoltre che in realtà hai che \( b = s\,d \) e \( c = (2 - d)/s. \)
Ok...mi restano ancora un po' di dubbi però.
1. L'ultima cosa che hai scritto (s*d=b). Se ho ben capito s=(a/c), ma per c=0 come in effetti è, la cosa risulta controproducente.
2. Forse ho intepretato male l'esercizio fin dall'inizio ma quell' "oppure esiste" l'ho inteso come seconda e ultima condizione possibile. Cioè, o è uguale a 2Iv oppure l'unica altra alternativa è (0,0,0,2).
Invece con il metodo della diagonalizzazione avrei benissimo potuto anche scrivere (credo):
$ ( ( 2 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $
3. Lui in effetti chiedeva di trovare la base di V tale che...
Io, mi sembra, ho dimostrato che con un'opportuna trasformazione (ovvero la diagonalizzazione) ottengo da f una matrice tale che...
Mi sfugge il motivo per cui una cosa vale l'altra.
1. L'ultima cosa che hai scritto (s*d=b). Se ho ben capito s=(a/c), ma per c=0 come in effetti è, la cosa risulta controproducente.
2. Forse ho intepretato male l'esercizio fin dall'inizio ma quell' "oppure esiste" l'ho inteso come seconda e ultima condizione possibile. Cioè, o è uguale a 2Iv oppure l'unica altra alternativa è (0,0,0,2).
Invece con il metodo della diagonalizzazione avrei benissimo potuto anche scrivere (credo):
$ ( ( 2 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $
3. Lui in effetti chiedeva di trovare la base di V tale che...
Io, mi sembra, ho dimostrato che con un'opportuna trasformazione (ovvero la diagonalizzazione) ottengo da f una matrice tale che...
Mi sfugge il motivo per cui una cosa vale l'altra.
Per il primo punto è certamente come dici.. L'idea che volevo trasmettere è che in realtà le due righe devono essere linearmente dipendenti e quindi uno il multiplo dell'altra. Con zero da però problemi come dici giustamente.
Nella seconda parte dell'esercizio non si richiede che sia esattamente quella matrice, solo che sia possibile arrivare a quella matrice operando un cambio di base.
Nella seconda parte dell'esercizio non si richiede che sia esattamente quella matrice, solo che sia possibile arrivare a quella matrice operando un cambio di base.
Ora ho capito. Alla prima parte potevo arrivarci, la seconda non avevo proprio capito nulla.
Grazie mille!!
Grazie mille!!
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