Cosa sono le applicazioni lineari?
Qualcuno può spiegarmi in modo chiaro cosa sono e come funzionano le applicazioni lineari? Sinceramente sul libro proprio non riesco a capire e quando mi trovo davanti a degli esercizi non so mai da dove cominciare...
Risposte
Le applicazioni lineari sono delle speciali funzioni tra spazi vettoriali. Ad esempio se $L:V\to W$, allora $L$ si dice lineare se:
1) $L(v_1+v_2)=L(v_1)+L(v_2)$ per ogni $v_1,v_2\in V$ (additività);
2) $L(\lambda v)=\lambda L(v)$ per ogni $v\in V$ e per ogni $\lambda\in \mathbb{R}$ (omogeneità).
(in questo caso stiamo supponendo che siano spazi vettoriali reali, ma altrimenti basta cambiare $\mathbb{R}$ con un altro campo qualunque).
Vediamo un esempio semplice: $L:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita come $L(v)=2v$. Dati $v_1,v_2\in\mathbb{R}$, si ha che
1) $L(v_1+v_2)=2(v_1+v_2)=2v_1+2v_2=L(v_1)+L(v_2)$;
se inoltre consideriamo un qualunque numero $\lambda\in\mathbb{R}$ e $v\in \mathbb{R}$, si ha che
2) $L(\lambda v)=2(\lambda v)=\lambda (2v)=\lambda L(v)$.
Un altro esempio è il seguente: $L:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ definita come $L(v)=x+y$ (ponendo $v=[[x],[y]]$). Per ogni $v_1,v_2\in\mathbb{R}^2$, si ha che
1) $L(v_1+v_2)=L([[x_1],[y_1]]+[[x_2],[y_2]])=L([[x_1+x_2],[y_1+y_2]])=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=L(v_1)+L(v_2)$
Inoltre se $\lambda\in\mathbb{R}$ e $v\in\mathbb{R}^2$, si ha che
2) $L(\lambda v)=L(\lambda [[x],[y]])=L([[\lambda x],[\lambda y]])=\lambda x+\lambda y=\lambda (x+y)=\lambda L(v)$.
Invece un esempio di applicazione che non è lineare è $L:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita come $L(v)=v^2$. In generale, dati $v_1,v_2\in\mathbb{R}$, si ha che
1) $L(v_1+v_2)=(v_1+v_2)^2=v_1^2+v_2^2+2v_1v_2\ne v_1^2+v_2^2=L(v_1)+L(v_2)$ (ovviamente vale l'uguaglianza se $v_1=0$ o $v_2=0$, ma il fatto che valga solo per alcuni vettori non è sufficiente);
questa applicazione non è nemmeno omogenea: dati $\lambda \in \mathbb{R}$ e $v\in\mathbb{R}$, si ha che
2) $L(\lambda v)=(\lambda v)^2=\lambda^2v^2\ne \lambda v^2=\lambda L(v)$ (anche qui, vale l'uguaglianza se $\lambda=0$ o $\lambda=1$, il problema è che deve valere per ogni $\lambda\in\mathbb{R}$).
Comunque nel forum se leggi "Algebra lineare for dummies" è spiegato molto bene!
1) $L(v_1+v_2)=L(v_1)+L(v_2)$ per ogni $v_1,v_2\in V$ (additività);
2) $L(\lambda v)=\lambda L(v)$ per ogni $v\in V$ e per ogni $\lambda\in \mathbb{R}$ (omogeneità).
(in questo caso stiamo supponendo che siano spazi vettoriali reali, ma altrimenti basta cambiare $\mathbb{R}$ con un altro campo qualunque).
Vediamo un esempio semplice: $L:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita come $L(v)=2v$. Dati $v_1,v_2\in\mathbb{R}$, si ha che
1) $L(v_1+v_2)=2(v_1+v_2)=2v_1+2v_2=L(v_1)+L(v_2)$;
se inoltre consideriamo un qualunque numero $\lambda\in\mathbb{R}$ e $v\in \mathbb{R}$, si ha che
2) $L(\lambda v)=2(\lambda v)=\lambda (2v)=\lambda L(v)$.
Un altro esempio è il seguente: $L:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ definita come $L(v)=x+y$ (ponendo $v=[[x],[y]]$). Per ogni $v_1,v_2\in\mathbb{R}^2$, si ha che
1) $L(v_1+v_2)=L([[x_1],[y_1]]+[[x_2],[y_2]])=L([[x_1+x_2],[y_1+y_2]])=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=L(v_1)+L(v_2)$
Inoltre se $\lambda\in\mathbb{R}$ e $v\in\mathbb{R}^2$, si ha che
2) $L(\lambda v)=L(\lambda [[x],[y]])=L([[\lambda x],[\lambda y]])=\lambda x+\lambda y=\lambda (x+y)=\lambda L(v)$.
Invece un esempio di applicazione che non è lineare è $L:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita come $L(v)=v^2$. In generale, dati $v_1,v_2\in\mathbb{R}$, si ha che
1) $L(v_1+v_2)=(v_1+v_2)^2=v_1^2+v_2^2+2v_1v_2\ne v_1^2+v_2^2=L(v_1)+L(v_2)$ (ovviamente vale l'uguaglianza se $v_1=0$ o $v_2=0$, ma il fatto che valga solo per alcuni vettori non è sufficiente);
questa applicazione non è nemmeno omogenea: dati $\lambda \in \mathbb{R}$ e $v\in\mathbb{R}$, si ha che
2) $L(\lambda v)=(\lambda v)^2=\lambda^2v^2\ne \lambda v^2=\lambda L(v)$ (anche qui, vale l'uguaglianza se $\lambda=0$ o $\lambda=1$, il problema è che deve valere per ogni $\lambda\in\mathbb{R}$).
Comunque nel forum se leggi "Algebra lineare for dummies" è spiegato molto bene!
Grazie mille ma cosa significa ad esempio R^2 → R^3 ?
"Leoddio":
cosa significa ad esempio R^2 → R^3 ?
$mathbb (R^2)$, $mathbb (R^3)$ sono sottospazi, il primo definito da una coppia di numeri $((x),(y))$
e il secondo da una terna $((x),(y),(z)), AA x,y,z in mathbb (R)$
Il simbolo $mathbb (R^2) -> mathbb (R^3)$ (forse per pratica ti è più chiaro $f:mathbb (R^2) -> mathbb (R^3)$) sta a indicare la funzione che prende una coppia di numeri dal $\text{Dominio}=mathbb (R^2)$ e li manda in un terna di numeri nel $\text{Codomino}=mathbb (R^3)$.
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