Cosa si può dire di una sottovarietà che ha la stessa dimensione della varietà di partenza?

[glooo1]

Sia $M$ una varietà differenziabile di dimensione $m$ e sia $S$ una sottovarietà di $M$ della stessa dimensione $m$.

Cosa posso dire allora su $S$?

Ho provato a dimostrare che $S$ è aperta.

La mia idea era quella di usare il teorema della funzione inversa all'inclusione $i:M \rightarrow S$.

Però da qui non so come andare avanti. Come potrei procedere? Grazie per l'aiuto!

[Pappappero1]

Prima di tutto l'inclusione va nell'altro verso.

$S$ e' in effetti un aperto di $M$. Come dimostrarlo? Basta osservare che $S$ e' unione di aperti di $M$, e come aperti puoi prendere le carte di $S$ (che sono immediatamente anche carte di $M$).

[dissonance]

"Pappappero":Prima di tutto l'inclusione va nell'altro verso.

$S$ e' in effetti un aperto di $M$. Come dimostrarlo? Basta osservare che $S$ e' unione di aperti di $M$, e come aperti puoi prendere le carte di $S$ (che sono immediatamente anche carte di $M$).

Non mi sembra cosi' ovvio. Secondo me proprio in quell'"immediatamente" si deve nascondere qualche teorema grosso - invarianza del dominio, o il teorema dell'applicazione inversa. Detto cosi' a naso

[vict85]

Per la teoria delle funzioni a rango costante (usano il teorema della funzione implicita), hai che per ogni punto \(p\in S\) esiste una coppia di carte \(i\)-adattate \((U,\phi)\) e \((V,\psi)\) tali che \(p\in U\), \(iU = V\) e \(\psi\circ i\circ\phi^{-1} = \mathrm{id}_{\phi U}\).