Corrispondenza biunivoca tra insieme di sottospazi
Buon giorno , sto cercando di risolvere il seguento esercizio :
Trovare una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei sottospazi UcR^3 complementari al piano \pi di equazione x+y+z=0 (ovvero tali che R^3=U + \pi ) e l'insieme dei vettori ( a b c ) appartenenti R^3 tali che a+b+c=1
io ho abbozzato un ragionamento per il quale il piano creato da x+y+z=0 è parallelo al piano a+b+c=1 e i sottospazi complementari sono delle rette che passano per l'origine del piano pigreco ed intersecano invece il piano formato da a+b+c=1 , solo che non so come dimostrare questa mia idea . Grazie in anticipo a chi mi aiuterà !
Trovare una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei sottospazi UcR^3 complementari al piano \pi di equazione x+y+z=0 (ovvero tali che R^3=U + \pi ) e l'insieme dei vettori ( a b c ) appartenenti R^3 tali che a+b+c=1
io ho abbozzato un ragionamento per il quale il piano creato da x+y+z=0 è parallelo al piano a+b+c=1 e i sottospazi complementari sono delle rette che passano per l'origine del piano pigreco ed intersecano invece il piano formato da a+b+c=1 , solo che non so come dimostrare questa mia idea . Grazie in anticipo a chi mi aiuterà !
Risposte
ps:il \pi sta per pigreco
Ti basta osservare che per ogni punto del piano affine $\{ (a,b,c): a+ b + c = 1\}$, l'unica retta passante per quel punto e per l'origine e' un complementare di $\pi$.
Ma per questo basta fare un conticino con le dimensioni. Quale e' la dimensione di $\pi$? E quella della retta? E che dice la formula di Grassmann?
Ma per questo basta fare un conticino con le dimensioni. Quale e' la dimensione di $\pi$? E quella della retta? E che dice la formula di Grassmann?
Grazie per la risposta, però ho ancora un problema perchè questo argomento l'abbiamo appena fatto e non ho preso molta dimestichezza io so che la formula di grassmann mi dice dim(U+W)= dim U+dim W - dim (Uintersezione W), però io so che la dimensione di pigreco se non sbaglio è 3 mentre quello della retta è due però poi non so come usarle per trovare la bigezione , mi serve un aiuto più profondo
La dimensione di un piano non e' $3$; la dimensione di un piano e' $2$: in effetti se $x+y+z = 0$ allora hai due variabili libere e la terza resta determinata. Allo stesso modo la dimensione di una retta non e' $2$, ma $1$: hai due equazioni cartesiane che definiscono una retta nello spazio $3$-dimensionale, quindi una sola variabile libera; se preferisci le equazioni parametriche, hai un solo parametro che ti definisce una retta.
La biiezione te l'ho data io: per ogni punto del piano affine $a+b+c = 1$, prendi la retta che passa per l'origine e per quel punto. Quale e' il vettore direttore di quella retta? Quindi quale e' l'intersezione tra quella retta e il piano $\pi$?
La biiezione te l'ho data io: per ogni punto del piano affine $a+b+c = 1$, prendi la retta che passa per l'origine e per quel punto. Quale e' il vettore direttore di quella retta? Quindi quale e' l'intersezione tra quella retta e il piano $\pi$?
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