Correzione sistema lineare
Buongiorno a tutti, ho svolto un'esercizio su un sistema lineare. Non potendo aver altro riscontro provo a chiedere a voi se ho eseguito tutti i passi correttamente e se i miei ragionamenti sono corretti. Il sistema in questione è:
$\{(x + z = 2),(x + y + \alpha z = 1),(\alpha x + \alpha y + z = 0):}$
Essendo la matrice incompleta una matrice quadrata posso applicare direttamente Cramer e verificare per quali valori di $\alpha$ il determinante non si annulla.
Nel caso specifico mi risulta $\alpha^2 - 1 != 0$ e perciò il determinante si annulla per i valori $ \alpha = +- 1$.
Perciò quando $ \alpha != +- 1$ posso applicare Cramer, calcolando i vari determinanti con sostituita il vettore dei termini noti e dividendoli per il determinante trovato per il passaggio precedente.
Ora il punto è che Cramer non ci da informazioni di cosa succede quando il determinante si annulla, allora applico Rouche - Capelli.
Prima nel caso $ \alpha = 1 $:
e ottengo la matrice $((1,2,0),(1,1,1),(1,1,1))$ sapendo che il determinante di questa matrice si annulla so che sicuramente avrà rango minore di 3, allora considero un minore della matrice ad esempio $((1,2),(1,1))$ e verifico che il determinante non si annulla, di conseguenza il rango della matrice incompleta è 2.
Ora devo verificare il rango della matrice completa: dal passaggio precendete ho verificato che il il primo e secondo vettore colonna sono linearmente indipendenti, allora considero la matrice $((1,2,2),(1,1,1),(1,1,0))$ e verifico che il determinante è = 1 e quindi il rango della matrice completa è = 3 di conseguenza per il teorema di Rouche - Capelli non ha soluzioni.
Verifico lo stesso anche nel caso $ \alpha = -1 $.
[mod="Fioravante Patrone"]Ho corretto "correzzione", che mi dava molto fastidio ogni volta che lo vedevo.
Perché l'utente luka.bernardi non ha corretto, nonostante il suggerimento di un moderatore?
Qui i moderatori non ci stanno per fare tappezzeria.[/mod]
$\{(x + z = 2),(x + y + \alpha z = 1),(\alpha x + \alpha y + z = 0):}$
Essendo la matrice incompleta una matrice quadrata posso applicare direttamente Cramer e verificare per quali valori di $\alpha$ il determinante non si annulla.
Nel caso specifico mi risulta $\alpha^2 - 1 != 0$ e perciò il determinante si annulla per i valori $ \alpha = +- 1$.
Perciò quando $ \alpha != +- 1$ posso applicare Cramer, calcolando i vari determinanti con sostituita il vettore dei termini noti e dividendoli per il determinante trovato per il passaggio precedente.
Ora il punto è che Cramer non ci da informazioni di cosa succede quando il determinante si annulla, allora applico Rouche - Capelli.
Prima nel caso $ \alpha = 1 $:
e ottengo la matrice $((1,2,0),(1,1,1),(1,1,1))$ sapendo che il determinante di questa matrice si annulla so che sicuramente avrà rango minore di 3, allora considero un minore della matrice ad esempio $((1,2),(1,1))$ e verifico che il determinante non si annulla, di conseguenza il rango della matrice incompleta è 2.
Ora devo verificare il rango della matrice completa: dal passaggio precendete ho verificato che il il primo e secondo vettore colonna sono linearmente indipendenti, allora considero la matrice $((1,2,2),(1,1,1),(1,1,0))$ e verifico che il determinante è = 1 e quindi il rango della matrice completa è = 3 di conseguenza per il teorema di Rouche - Capelli non ha soluzioni.
Verifico lo stesso anche nel caso $ \alpha = -1 $.
[mod="Fioravante Patrone"]Ho corretto "correzzione", che mi dava molto fastidio ogni volta che lo vedevo.
Perché l'utente luka.bernardi non ha corretto, nonostante il suggerimento di un moderatore?
Qui i moderatori non ci stanno per fare tappezzeria.[/mod]
Risposte
Perfetto!
"cirasa":
Perfetto!
Grazie mille! Se ho un'altro quesito sempre su un sistema lineare, posso continuare questo thread o conviene aprirne uno nuovo?
Se l'argomento è lo stesso, credo che i moderatori cattivissimi non faranno problemi se continui con lo stesso thread. 
[mod="franced"]Ne apri uno nuovo.
Correzione si scrive con una sola "z"...[/mod]
Correzione si scrive con una sola "z"...[/mod]
"cirasa":
Se l'argomento è lo stesso, credo che i moderatori cattivissimi non faranno problemi se continui con lo stesso thread.
Confidando nella clemenza dei moderatori:Nel caso di sistema per esempio a 4 incogni ma a 3 equazioni come il seguente:
$\{(x + \alpha y +w +z = 1),( \alpha x + y +w +z = 1),(x + y +w +\alpha z = 1):}$
Allora innanzitutto il mio ragionamento è: non posso applicare Cramer perchè non è una matrice quadrata, dovrà controllare con Rouche- Capelli.
Partendo "prevenuto" perchè so già che o non esisteranno soluzioni o ne esisteranno infinite perchè necessariamente una variabile sarà "libera".
Qui iniziano i miei dubbi, nel senso devo iniziare a considerare un minore della matrice incompleta tale che il determinante non si annulli?
Perchè in alcuni esercizi svolti ho visto che venivano consideratai tutti i minori della matrice incompleta e si tenevano solo i valori del parametro che annullavano tutti i minori (insomma che erano condivisi), quindi la prima domanda è necessario considerare tutti i minori o ne basta uno solo?
Perchè mi sembra di ricordare (correggetemi se sbaglio) che è sufficente un minore non nullo per determinare il rango di una matrice?!
E poi come devo procede? Una volta trovato il minore dovrò trovare anche il rango della matrice completa?
FAccio riferimento al primo esercizio che hai scritto.
Avresti potuto seguire anche un'altra strada, cioè utilizzare l'algoritmo di Gauss-Jorda, ossia effettuare iterativamente dei passi di pivot. Alla fine dell'algoritmo avresti avuto una matrice del seguente tipo
$ ((x,y,z,t.n.), (1,0,1,2), (0,1,a-1,-1), (0,0,1-a^2,-a)) $. A questo punto puoi procedere col passo di pivot se $ 1-a^2 != 0 $, cioè se $ a!=\pm 1 $. Hai, dunque, i vari casi
a) se $ a != \pm 1 $ applicando l'alg. di Gauss-Jordan hai una matrice del tipo $ ((x,y,z,t.n.),(1,0,0,(-2a^2+a+2)/(1-a^2)), (0,1,0,(2a^2-a-1)/(1-a^2)), (0,0,1,(a)/(a^2-1))) $. La matrice siffatta ha rango 4 e, dunque, determinato;
b) se $ a=1 $ hai $ ((x,y,z,t.n.), (1,0,1,2), (0,1,0,-1), (0,0,0,-1)) $. Beh in questo caso hai che $ car(A)=2 < car(A,b)=3 $ quindi il sistema è incompatibile;
b) se $ a = -1 $ hai $ ((x,y,z,t.n.), (1,0,1,2), (0,1,-2,-1), (0,0,0,1)) $. A quali conclusioni puoi giungere?
Ripeto, è un procedimento alternativo a quello tuo, che è corretto! è solo più sbrigativo
P.S. con $t.n.$ intendo il termine noto
Con lo stesso ragionamento prova ora a risolvere il tuo secondo esercizio!
Avresti potuto seguire anche un'altra strada, cioè utilizzare l'algoritmo di Gauss-Jorda, ossia effettuare iterativamente dei passi di pivot. Alla fine dell'algoritmo avresti avuto una matrice del seguente tipo
$ ((x,y,z,t.n.), (1,0,1,2), (0,1,a-1,-1), (0,0,1-a^2,-a)) $. A questo punto puoi procedere col passo di pivot se $ 1-a^2 != 0 $, cioè se $ a!=\pm 1 $. Hai, dunque, i vari casi
a) se $ a != \pm 1 $ applicando l'alg. di Gauss-Jordan hai una matrice del tipo $ ((x,y,z,t.n.),(1,0,0,(-2a^2+a+2)/(1-a^2)), (0,1,0,(2a^2-a-1)/(1-a^2)), (0,0,1,(a)/(a^2-1))) $. La matrice siffatta ha rango 4 e, dunque, determinato;
b) se $ a=1 $ hai $ ((x,y,z,t.n.), (1,0,1,2), (0,1,0,-1), (0,0,0,-1)) $. Beh in questo caso hai che $ car(A)=2 < car(A,b)=3 $ quindi il sistema è incompatibile;
b) se $ a = -1 $ hai $ ((x,y,z,t.n.), (1,0,1,2), (0,1,-2,-1), (0,0,0,1)) $. A quali conclusioni puoi giungere?
Ripeto, è un procedimento alternativo a quello tuo, che è corretto! è solo più sbrigativo
P.S. con $t.n.$ intendo il termine noto
Con lo stesso ragionamento prova ora a risolvere il tuo secondo esercizio!
"Aliseo":
FAccio riferimento al primo esercizio che hai scritto.
Avresti potuto seguire anche un'altra strada, cioè utilizzare l'algoritmo di Gauss-Jorda, ossia effettuare iterativamente dei passi di pivot. Alla fine dell'algoritmo avresti avuto una matrice del seguente tipo
$ ((x,y,z,t.n.), (1,0,1,2), (0,1,a-1,-1), (0,0,1-a^2,-a)) $. A questo punto puoi procedere col passo di pivot se $ 1-a^2 != 0 $, cioè se $ a!=\pm 1 $. Hai, dunque, i vari casi
a) se $ a != \pm 1 $ applicando l'alg. di Gauss-Jordan hai una matrice del tipo $ ((x,y,z,t.n.),(1,0,0,(-2a^2+a+2)/(1-a^2)), (0,1,0,(2a^2-a-1)/(1-a^2)), (0,0,1,(a)/(a^2-1))) $. La matrice siffatta ha rango 4 e, dunque, determinato;
b) se $ a=1 $ hai $ ((x,y,z,t.n.), (1,0,1,2), (0,1,0,-1), (0,0,0,-1)) $. Beh in questo caso hai che $ car(A)=2 < car(A,b)=3 $ quindi il sistema è incompatibile;
b) se $ a = -1 $ hai $ ((x,y,z,t.n.), (1,0,1,2), (0,1,-2,-1), (0,0,0,1)) $. A quali conclusioni puoi giungere?
Ripeto, è un procedimento alternativo a quello tuo, che è corretto! è solo più sbrigativo
P.S. con $t.n.$ intendo il termine noto
Con lo stesso ragionamento prova ora a risolvere il tuo secondo esercizio!
Hai ragione è sicuramente più sbrigativo, ma per qualche ragione non mi trovo molto a mio agio con questo metodo, accetto comunque volentieri anche la tua risoluzione al secondo quesito dato che avevo provato a svolgerla usando anche Gauss ma senza successo.
prego!
Ti rispondo sul secondo esercizio. Vediamo come si applica il teorema di Rouchè-Capelli.
Praticamente devi calcolare il rango di una matrice al variare di un parametro.
Controlla tutto quello che dico visto che con questi esercizi è facile fare errori di distrazione.
Dunque la matrice dei coefficienti (tu la chiami matrice incompleta giusto?) è
$A=((1,\alpha,1,1),(\alpha,1,1,1),(1,1,1,\alpha))$
Dobbiamo calcolarne il rango. Facciamolo con il metodo dei minori orlati (o teorema di Kronecker).
Come hai notato tu, c'è un minore di ordine $1$ non nullo. Prendi tutti i minori (di ordine $2$) orlati di quello considerato. Se tutti sono nulli allora il rango è $1$, altrimenti ne prendi uno non nullo e prosegui. Prendi tutti i minori (di ordine $3$) orlati di quello non nullo di ordine $2$. Se tutti sono nulli il rango è $2$, altrimenti prosegui...
Vediamo nel tuo caso. I minori di ordine $2$ orlati di $(1)$ (è l'elemento al posto $(1,1)$) sono:
$M_1=|(1,\alpha),(\alpha,1)|$, $M_2=|(1,1),(\alpha,1)|$, $M_3=|(1,\alpha),(1,1)|$ $M_4=|(1,1),(1,1)|$, $M_5=|(1,1),(1,\alpha)|$
Sono tutti nulli se e solo se $\alpha=1$.
Quindi per $\alpha=1$ il rango di $A$ è $1$.
Se $alpha\ne 1$, ne prendi uno non nullo, per esempio $M_2$. Prendi tutti i minori di ordine $3$ orlati di $M_2$ che sono:
$N_1=((1,\alpha,1),(\alpha,1,1),(1,1,1))$, $N_2=((1,1,1),(\alpha,1,1),(1,1,\alpha))$
e se non sbaglio dovresti (non ho fatto i conti, controlla!) verificare che ce n'è uno non nullo (ricorda che sei nel caso $\alpha\ne 1$)
Concludi, visto che ce n'è uno non nullo, che $rank(A)=3$.
Ricapitolando: se $\alpha=1$, allora $rank(A)=1$. Se $\alpha\ne1$, allora $rank(A)=3$.
Poi fai calcoli il rango della matrice completa (quella che comprende anche i termini noti) con lo stesso procedimento e puoi applicare finalmente il teorema di Rouchè-Capelli.
Spero di aver risolto i tuoi problemi...
Praticamente devi calcolare il rango di una matrice al variare di un parametro.
Controlla tutto quello che dico visto che con questi esercizi è facile fare errori di distrazione.
Dunque la matrice dei coefficienti (tu la chiami matrice incompleta giusto?) è
$A=((1,\alpha,1,1),(\alpha,1,1,1),(1,1,1,\alpha))$
Dobbiamo calcolarne il rango. Facciamolo con il metodo dei minori orlati (o teorema di Kronecker).
Come hai notato tu, c'è un minore di ordine $1$ non nullo. Prendi tutti i minori (di ordine $2$) orlati di quello considerato. Se tutti sono nulli allora il rango è $1$, altrimenti ne prendi uno non nullo e prosegui. Prendi tutti i minori (di ordine $3$) orlati di quello non nullo di ordine $2$. Se tutti sono nulli il rango è $2$, altrimenti prosegui...
Vediamo nel tuo caso. I minori di ordine $2$ orlati di $(1)$ (è l'elemento al posto $(1,1)$) sono:
$M_1=|(1,\alpha),(\alpha,1)|$, $M_2=|(1,1),(\alpha,1)|$, $M_3=|(1,\alpha),(1,1)|$ $M_4=|(1,1),(1,1)|$, $M_5=|(1,1),(1,\alpha)|$
Sono tutti nulli se e solo se $\alpha=1$.
Quindi per $\alpha=1$ il rango di $A$ è $1$.
Se $alpha\ne 1$, ne prendi uno non nullo, per esempio $M_2$. Prendi tutti i minori di ordine $3$ orlati di $M_2$ che sono:
$N_1=((1,\alpha,1),(\alpha,1,1),(1,1,1))$, $N_2=((1,1,1),(\alpha,1,1),(1,1,\alpha))$
e se non sbaglio dovresti (non ho fatto i conti, controlla!) verificare che ce n'è uno non nullo (ricorda che sei nel caso $\alpha\ne 1$)
Concludi, visto che ce n'è uno non nullo, che $rank(A)=3$.
Ricapitolando: se $\alpha=1$, allora $rank(A)=1$. Se $\alpha\ne1$, allora $rank(A)=3$.
Poi fai calcoli il rango della matrice completa (quella che comprende anche i termini noti) con lo stesso procedimento e puoi applicare finalmente il teorema di Rouchè-Capelli.
Spero di aver risolto i tuoi problemi...
"cirasa":
Ti rispondo sul secondo esercizio. Vediamo come si applica il teorema di Rouchè-Capelli.
Praticamente devi calcolare il rango di una matrice al variare di un parametro.
Controlla tutto quello che dico visto che con questi esercizi è facile fare errori di distrazione.
Dunque la matrice dei coefficienti (tu la chiami matrice incompleta giusto?) è
$A=((1,\alpha,1,1),(\alpha,1,1,1),(1,1,1,\alpha))$
Dobbiamo calcolarne il rango. Facciamolo con il metodo dei minori orlati (o teorema di Kronecker).
Come hai notato tu, c'è un minore di ordine $1$ non nullo. Prendi tutti i minori (di ordine $2$) orlati di quello considerato. Se tutti sono nulli allora il rango è $1$, altrimenti ne prendi uno non nullo e prosegui. Prendi tutti i minori (di ordine $3$) orlati di quello non nullo di ordine $2$. Se tutti sono nulli il rango è $2$, altrimenti prosegui...
Vediamo nel tuo caso. I minori di ordine $2$ orlati di $(1)$ (è l'elemento al posto $(1,1)$) sono:
$M_1=|(1,\alpha),(\alpha,1)|$, $M_2=|(1,1),(\alpha,1)|$, $M_3=|(1,\alpha),(1,1)|$ $M_4=|(1,1),(1,1)|$, $M_5=|(1,1),(1,\alpha)|$
Sono tutti nulli se e solo se $\alpha=1$.
Quindi per $\alpha=1$ il rango di $A$ è $1$.
Se $alpha\ne 1$, ne prendi uno non nullo, per esempio $M_2$. Prendi tutti i minori di ordine $3$ orlati di $M_2$ che sono:
$N_1=((1,\alpha,1),(\alpha,1,1),(1,1,1))$, $N_2=((1,1,1),(\alpha,1,1),(1,1,\alpha))$
e se non sbaglio dovresti (non ho fatto i conti, controlla!) verificare che ce n'è uno non nullo (ricorda che sei nel caso $\alpha\ne 1$)
Concludi, visto che ce n'è uno non nullo, che $rank(A)=3$.
Ricapitolando: se $\alpha=1$, allora $rank(A)=1$. Se $\alpha\ne1$, allora $rank(A)=3$.
Poi fai calcoli il rango della matrice completa (quella che comprende anche i termini noti) con lo stesso procedimento e puoi applicare finalmente il teorema di Rouchè-Capelli.
Spero di aver risolto i tuoi problemi...
Perfetto! Sei stato chiarissimo! Unica cosa però a questo punto io devo considerare che con $\alpha=1$ avrò $infty^3$ soluzioni e con $\alpha!=1$ avrò $infty^1$ soluzioni, ma dovrò calcolarle queste soluzioni e (correggimi se sbaglio) lo farò rispettivamente considerando solo rispettivamente 1 e 3 equazioni, in cui avrò sempre rispettivamente 1 e 3 variabili mentre le altre verranno considerati parametri e quindi posso applicare su entrambi i sistemi il metodo di Cramer.
Potresti farlo. Ma se posso, permettimi di darti un consiglio. Non ti affezionare troppo al metodo di Cramer, perchè è facile farlo quando i sistemi sono piccoli e senza parametri. Ma quando il sistema diventa più grande calcolare i vari determinanti è, oltre che noioso, molto dispendioso in termini di calcoli. A maggior ragione, se il sistema è parametrico. E' facile fare errori di conto!
Piuttosto, se proprio lo devi fare a mano carta e penna, cerca di ridurre il sistema. Per esempio con il metodo di Gauss.
Piuttosto, se proprio lo devi fare a mano carta e penna, cerca di ridurre il sistema. Per esempio con il metodo di Gauss.
"cirasa":
Potresti farlo. Ma se posso, permettimi di darti un consiglio. Non ti affezionare troppo al metodo di Cramer, perchè è facile farlo quando i sistemi sono piccoli e senza parametri. Ma quando il sistema diventa più grande calcolare i vari determinanti è, oltre che noioso, molto dispendioso in termini di calcoli. A maggior ragione, se il sistema è parametrico. E' facile fare errori di conto!
Piuttosto, se proprio lo devi fare a mano carta e penna, cerca di ridurre il sistema. Per esempio con il metodo di Gauss.
Probabilmente non mi sono mai impeganto a fondo nelle riduzioni di Gauss. Ma per esempio prendiamo la matrice del sistema originale, non riesco a trovare delle operazioni elementari che mi portino a farla diventare a gradini (o triangolare)
"luka.bernardi":
Probabilmente non mi sono mai impeganto a fondo nelle riduzioni di Gauss.
E allora, ora che hai superato lo "scoglio" Rouchè-Capelli, sarebbe ora di dedicarsi anche un po' a Gauss.
Studialo a fondo, prova a risolvere qualche sistema e, se non ci riesci, postaci i tuoi risultati. Poi te li controllerò e ti dirò se lo fai per bene.
Puoi iniziare con sistemi che non dipendono da un parametro. Poi puoi passara a quelli parametrici. Forza, buon lavoro!
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