Correzione esericzio con autovalori e autospazio
Buon pomeriggio a tutti , avrei bisogno di un vostro aiuto.
Non sono sicura di aver fatto bene questo esercizio, inizio a scrivere lo svolgimento dei primi punti. Spero possiate correggermelo. Grazie in anticipo
Sia $ varphi (t) $ : R^3 --> R^3 un'applicazione lineare così definita:
i) scrivere la matrice $ Avarphi (t) $ associataa $ varphi (t) $ ;
II) discutere delle dimensioni di Im \varphi (t) al variare di t ;
III) nel caso in cui t=0, determinare il \ker (\varphi (t));
IV) nel caso in cui t=0 determinare gli autovalori con la loro molteplicità geometrica ed algebrica e determinare un autospazio;
V) se possibile descrivere una matrice diagonale coniugata ad \( A\varphi (0) \) ;
VI) studiare la diagonalizzazione al variare di t.
I) \( \begin{pmatrix} t & 0 & t \\ 0 & 1 & 1 \\ t & 1 & t+1 \end{pmatrix} \)
II)
\( dim Im \varphi (t)= r( A\varphi (t)) \)
\( det (A\varphi (t))=0 \)
\( \begin{vmatrix} t & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = t \)
\( t \neq 0 \)
\( r(A\varphi (t))= 2 \)
\( t=0 r(A\varphi (t)) =1 ) \)
quindi la dim dell'immagine per t=0 è 1 mentre per t diverso da 0 è 2.
III) \( A\varphi (o) \) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
ho svolto il sistema dando chiamando a e b le due incognite, mi viene che il ker ha dimensione 2 ed il vettore che lo genera sarà (a, -b,b).
Vorrei capire se fin qui ho fatto bene. ho anche continuato ma soprattutto per gli autovalori e l'autospazio non sono sicura del procedimento e spero possiate spiegarmelo. Spero mi rispondiate e aiutate a correggere gli errori Grazie in anticipo.
Non sono sicura di aver fatto bene questo esercizio, inizio a scrivere lo svolgimento dei primi punti. Spero possiate correggermelo. Grazie in anticipo
Sia $ varphi (t) $ : R^3 --> R^3 un'applicazione lineare così definita:
i) scrivere la matrice $ Avarphi (t) $ associataa $ varphi (t) $ ;
II) discutere delle dimensioni di Im \varphi (t) al variare di t ;
III) nel caso in cui t=0, determinare il \ker (\varphi (t));
IV) nel caso in cui t=0 determinare gli autovalori con la loro molteplicità geometrica ed algebrica e determinare un autospazio;
V) se possibile descrivere una matrice diagonale coniugata ad \( A\varphi (0) \) ;
VI) studiare la diagonalizzazione al variare di t.
I) \( \begin{pmatrix} t & 0 & t \\ 0 & 1 & 1 \\ t & 1 & t+1 \end{pmatrix} \)
II)
\( dim Im \varphi (t)= r( A\varphi (t)) \)
\( det (A\varphi (t))=0 \)
\( \begin{vmatrix} t & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = t \)
\( t \neq 0 \)
\( r(A\varphi (t))= 2 \)
\( t=0 r(A\varphi (t)) =1 ) \)
quindi la dim dell'immagine per t=0 è 1 mentre per t diverso da 0 è 2.
III) \( A\varphi (o) \) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
ho svolto il sistema dando chiamando a e b le due incognite, mi viene che il ker ha dimensione 2 ed il vettore che lo genera sarà (a, -b,b).
Vorrei capire se fin qui ho fatto bene. ho anche continuato ma soprattutto per gli autovalori e l'autospazio non sono sicura del procedimento e spero possiate spiegarmelo. Spero mi rispondiate e aiutate a correggere gli errori Grazie in anticipo.
Risposte
"Mariarca":
quindi la dim dell'immagine per t=0 è 1 mentre per t diverso da 0 è 2.
Corretto.
"Mariarca":
III) \( A\varphi (o) \) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
ho svolto il sistema dando chiamando a e b le due incognite, mi viene che il ker ha dimensione 2 ed il vettore che lo genera sarà (a, -b,b).
Per $t=0$ il kernel ha dimensione 2 e una sua base è $ {( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) )} $
$ {( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) )}$ è una base sia per l'immagine/spazio delle colonne che per lo spazio delle righe.
P.S. Ho scordato di scrivere un pezzo...sono di corsa.
(a, -b,b) è corretto ma è sempre meglio scrivere la base IMHO.
A dopo...
"Mariarca":
ho anche continuato ma soprattutto per gli autovalori e l'autospazio non sono sicura del procedimento e spero possiate spiegarmelo.
Ok, stai andando benone finora!
Adesso devi trovare il determinante della matrice $det(A-lambdaI)= | ( -lambda , 0 , 0 ),( 0 , 1-lambda , 1 ),( 0 , 1 , 1-lambda ) | $ per derivare gli autovalori.
Grazie mille per la risposta, continuo con l'esercizio in quanto non so se abbia fatto bene i vari passaggi..
ho calcolato il determinante delle matrice da te scritta e mi viene : $ -lambda (1-lambda )^2 $
quindi gli autovalori saranno 0 ed 1 .
la molteplicità algebrica di 0 è uno, in quanto annulla una sola volta il mio polinomio, quella geometria (essendo compresa tra quella algebrica ed 1 ) sarà uno.
la molteplicità algebrica invece di 1 è 2, per calcolare la molteplicità geometrica devo sottrarre alla dimensione della matrice il rango della matrice A(0)-I .
quindi il rango della matrice $ ( ( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ è 1
La molteplicità geometrica dell'autovalore 1 sarà quindi 2.
Per calcolare l'autospazio ho fatto:
(a-I) $ bar(v) $ = $ bar(0) $
quindi ho il sistema :
$ bar(Sigma { ( X1=0 ),( X2=a ),( X3=b ):}) $
Quindi l'autospazio relativo all'autovalore 1 sarà :
$ ( ( o ),( a ),( b ) ) $
ed una base sarà : {(0,0,1), (0,1,0)}
Ora per la matrice diagonale coniugata devo scrivere la matrice che ha per diagonale gli autovalori
Per quanto riguarda l'ultimo punto invece:
ho studiato il determinante della matrice:
$ ( ( t-lambda , 0 , t ),( 0 , 1-lambda , 1 ),( t , 1 , t+1-lambda ) ) $
e dopo aver eseguito i calcoli mi viene il polinomio : $ -tlambda + lambda (2t-1) $
il delta è : $ (2t-1)^2 $
sarà sempre maggiore o uguale a zero.
per t diverso da 1\2:
avrò due radici distinte la cui somma delle molteplicità geometriche mi viene uguale a due che diverso dall'ordine della matrice (3) e quindi non e diagonalizzabile.
Per t=1\2 avrò delta uguale a zero quindi esistono due redici coincidenti ma le radici mi risultano 0, la molteplicità algebrica sarà 2 e procedere come il punto precedente dell'esercizio per quella geometrica?
Spero di essere stata chiara
ho calcolato il determinante delle matrice da te scritta e mi viene : $ -lambda (1-lambda )^2 $
quindi gli autovalori saranno 0 ed 1 .
la molteplicità algebrica di 0 è uno, in quanto annulla una sola volta il mio polinomio, quella geometria (essendo compresa tra quella algebrica ed 1 ) sarà uno.
la molteplicità algebrica invece di 1 è 2, per calcolare la molteplicità geometrica devo sottrarre alla dimensione della matrice il rango della matrice A(0)-I .
quindi il rango della matrice $ ( ( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ è 1
La molteplicità geometrica dell'autovalore 1 sarà quindi 2.
Per calcolare l'autospazio ho fatto:
(a-I) $ bar(v) $ = $ bar(0) $
quindi ho il sistema :
$ bar(Sigma { ( X1=0 ),( X2=a ),( X3=b ):}) $
Quindi l'autospazio relativo all'autovalore 1 sarà :
$ ( ( o ),( a ),( b ) ) $
ed una base sarà : {(0,0,1), (0,1,0)}
Ora per la matrice diagonale coniugata devo scrivere la matrice che ha per diagonale gli autovalori
Per quanto riguarda l'ultimo punto invece:
ho studiato il determinante della matrice:
$ ( ( t-lambda , 0 , t ),( 0 , 1-lambda , 1 ),( t , 1 , t+1-lambda ) ) $
e dopo aver eseguito i calcoli mi viene il polinomio : $ -tlambda + lambda (2t-1) $
il delta è : $ (2t-1)^2 $
sarà sempre maggiore o uguale a zero.
per t diverso da 1\2:
avrò due radici distinte la cui somma delle molteplicità geometriche mi viene uguale a due che diverso dall'ordine della matrice (3) e quindi non e diagonalizzabile.
Per t=1\2 avrò delta uguale a zero quindi esistono due redici coincidenti ma le radici mi risultano 0, la molteplicità algebrica sarà 2 e procedere come il punto precedente dell'esercizio per quella geometrica?
Spero di essere stata chiara
"Mariarca":
ho calcolato il determinante delle matrice da te scritta e mi viene : $ -lambda (1-lambda )^2 $
Ti fermo qua...
Il determinante è $ -lambda [(1-lambda )^2-1]=0 $
"Mariarca":
la molteplicità algebrica di 0 è uno, in quanto annulla una sola volta il mio polinomio, quella geometria (essendo compresa tra quella algebrica ed 1 ) sarà uno.
Come vedrai, la molteplicità algebrica di 0 è due e quella geometrica pure...infatti avevi già calcolato il kernel della matrice con t=0 al passo precedente (e gli autovettori sono appunto la base che avevo scritto io...per questo motivo ti consigliavo di non usare il formato (a,-b,b). Ti saresti dovuta accorgere che qualcosa non tornava proprio in questo punto.
ok ho corretto il determinante ma non riesco a capire perchè la molteplicità algebrica di zero è 2... non mi annulla una volta il polinomio? E la molteplicità algebrica di uno invece non dovrebbe essere due?
ps: l'ultimo punto dell'esercizio che ti ho scritto nel messaggio precedente non dipende dall'errore che ho fatto , se è possibile controllarlo. Grazie mille in anticipo
ps: l'ultimo punto dell'esercizio che ti ho scritto nel messaggio precedente non dipende dall'errore che ho fatto , se è possibile controllarlo. Grazie mille in anticipo
"Mariarca":
ok ho corretto il determinante ma non riesco a capire perchè la molteplicità algebrica di zero è 2... non mi annulla una volta il polinomio? E la molteplicità algebrica di uno invece non dovrebbe essere due?
Il determinante è $ -lambda [(1-lambda )^2-1]=0 $ ovvero $ lambda^2 (lambda-2]=0 $
Gli autovalori sono dati da due radici coincidenti pari a 0 e la terza è 2.
Per $lambda=0$ ti restituisce la matrice con $t=0$, di cui avevi già trovato il kernel.
Sostituendo $lambda=2$ e trovando il kernel della corrispondente matrice troverai il terzo autovettore.
Completa l'esercizio e posta la matrice degli autovettori e la matrice diagonale con gli autovalori!
"Mariarca":
ps: l'ultimo punto dell'esercizio che ti ho scritto nel messaggio precedente non dipende dall'errore che ho fatto , se è possibile controllarlo. Grazie mille in anticipo
Mi spiace ma anche quel determinante è sbagliato
Allora se ho capito bene la matrice relativa agli autovettori ( e quindi una base dell'autospazio ) di $ lambda =0 $ sarà :
$ ( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) $
Mentre quella relativa a $ lambda =2 $ :
$ ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $
La matrice diagonale coniugata :
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Ho corretto il determinante dell'utlimo punto e se i calcoli sono giusti è : $ lambda (lambda ^2 + lambda ( -2t -1) +3t) $
e la discussione dipenderebbe soltanto da $ lambda ^2 + lambda ( -2t -1) +3t $ Giusto ?
Se mi confermi continuo Grazie mille sempre
$ ( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) $
Mentre quella relativa a $ lambda =2 $ :
$ ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $
La matrice diagonale coniugata :
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Ho corretto il determinante dell'utlimo punto e se i calcoli sono giusti è : $ lambda (lambda ^2 + lambda ( -2t -1) +3t) $
e la discussione dipenderebbe soltanto da $ lambda ^2 + lambda ( -2t -1) +3t $ Giusto ?
Se mi confermi continuo
Grazie mille sempre
Perfetto!
La discussione per t=0 è completata.
Quasi
$ lambda (lambda ^2 -2( t +1)lambda +3t)=0 $
Restano da analizzare le radici.
La discussione per t=0 è completata.
"Mariarca":
Ho corretto il determinante dell'utlimo punto e se i calcoli sono giusti è : $ lambda (lambda ^2 + lambda ( -2t -1) +3t) $
e la discussione dipenderebbe soltanto da $ lambda ^2 + lambda ( -2t -1) +3t $ Giusto ?
Quasi
$ lambda (lambda ^2 -2( t +1)lambda +3t)=0 $
Restano da analizzare le radici.
ok.. quindi avrò come primo autovalore \( \lambda 1=0 \) ,
e poi devo calcolare il delta di \( \lambda ^2 -2( t+1) \lambda +3t \) per trovare le altre due radici.... Se ho svolto i calcoli bene ho \( \Delta =0 \Longleftrightarrow 4t^2 -4t +4=0 \) .. quando calcolo questo delta mi viene negativo quindi devo considerare solo \( \lambda 1=0 \) come autovalore?
e poi devo calcolare il delta di \( \lambda ^2 -2( t+1) \lambda +3t \) per trovare le altre due radici.... Se ho svolto i calcoli bene ho \( \Delta =0 \Longleftrightarrow 4t^2 -4t +4=0 \) .. quando calcolo questo delta mi viene negativo quindi devo considerare solo \( \lambda 1=0 \) come autovalore?
"Mariarca":
ok.. quindi avrò come primo autovalore \( \lambda 1=0 \) ,
e poi devo calcolare il delta di \( \lambda ^2 -2( t+1) \lambda +3t \) per trovare le altre due radici.... Se ho svolto i calcoli bene ho \( \Delta =0 \Longleftrightarrow 4t^2 -4t +4=0 \) .. quando calcolo questo delta mi viene negativo quindi devo considerare solo \( \lambda 1=0 \) come autovalore?
Il delta è quello. Semplificando, abbiamo le tre radici $lambda_1=0$ $lambda_2=(t+1)+sqrt( t^2 -t +1)$ e $lambda_3=(t+1)-sqrt( t^2 -t +1)$
A te interessa sapere solo se per quali valori di t le due radici sono reali. Quindi chiediti quando il delta è $>=0$ e la risposta è SEMPRE. $t^2 -t +1>0$ per qualsiasi valore di t. Pensaci!
Quindi per qualsiasi t reale abbiamo SEMPRE tre radici reali di cui una 0. Per tutti i valori di t per cui le tre radici sono DISTINTE la matrice è ovviamente sempre diagonalizzabile.
Poi potrebbero esserci due o tre radici concidenti. Analizziamo!
$lambda_2!=lambda_3$ quindi non ci saranno mai tre radici coincidenti: al massimo possono essercene due con $lambda_1=lambda_2=0$ (impossibile) oppure $lambda_1=lambda_3=0$ e questo accade per t=0. Quindi dovremmo analizzare questo caso e vedere se è diagonalizzabile....ma l'abbiamo già fatto e la risposta è si!
Concludendo, la matrice è diagonalizzabile per qualsiasi t.
Tutto chiaro, grazie mille ☺️
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