Correzione esercizio su superfici topologiche
Buonasera.
Mi ritrovo a dover risolvere questo esercizio sulle superfici topologiche.
Mi viene chiesto di dire se le seguenti affermazioni sono vere o false (tutte le superfici considerate sono superfici compatte e connesse) dando una dimostrazione o trovandone un controesempio.
a) Se $\chi(S1)=\chi(S2)=-18$, allora $S1$ e $S2$ sono omeomorfe.
b) Se $S1,S2,S3,S4$ sono superfici a due a due non omeomorfe, allora $S1#S2$ non è omeomorfa a $S3#S4$.
c) Esiste una superficie $S$ che ha una suddivisione con 8 vertici, 10 spigoli e 6 facce.
Direi che la a) è falsa, perchè essendo la caratteristica di Eulero $\chi=-18$ un numeri pari, questa potrebbe essere sia caratteristica di somma connessa di piani proiettivi (nello specifico 20) sia di tori (nello specifico 10).
La b) è falsa, ho pensato di creare un controesempio considerando $S1=T$, $S2=P#P#P$, $S3=P$ e $S4=P#P#P#P$. Facendo la somma connessa $S1#S2$, e usando le proprietà della somma connessa (nello specifico $T#P=P#P#P$), ottengo la somma connessa di 5 piani proiettivi. Ottendo la somma connessa di 5 piani proiettivi anche facendo la somma connessa $S3#S4$. Quindi le due somme connesse sarebbero omeomorfe nonostante le superfici di partenza non lo siano tra di loro.
Il punto c) è anche falso, e ho pensato di farlo vedere calcolando la caratteristica di Eulero: $\chi=10-8+6=4$. Fatto ciò ho pensato di vedere se una superficie con questa caratteristica di Eulero potesse essere una somma connessa di piani o di tori, ma se lo fosse sarebbe somma connessa di n elementi, con n numero negativo. Questa superficie quindi non è omeomorfa nè a somma connessa di tori, nè a somma connessa di piani e non è nemmeno omeomorfa ad una sfera, perchè avendo 10 spigoli e non 12 non è un cubo.
La mia risoluzione dell'esercizio è corretta?
Mi ritrovo a dover risolvere questo esercizio sulle superfici topologiche.
Mi viene chiesto di dire se le seguenti affermazioni sono vere o false (tutte le superfici considerate sono superfici compatte e connesse) dando una dimostrazione o trovandone un controesempio.
a) Se $\chi(S1)=\chi(S2)=-18$, allora $S1$ e $S2$ sono omeomorfe.
b) Se $S1,S2,S3,S4$ sono superfici a due a due non omeomorfe, allora $S1#S2$ non è omeomorfa a $S3#S4$.
c) Esiste una superficie $S$ che ha una suddivisione con 8 vertici, 10 spigoli e 6 facce.
Direi che la a) è falsa, perchè essendo la caratteristica di Eulero $\chi=-18$ un numeri pari, questa potrebbe essere sia caratteristica di somma connessa di piani proiettivi (nello specifico 20) sia di tori (nello specifico 10).
La b) è falsa, ho pensato di creare un controesempio considerando $S1=T$, $S2=P#P#P$, $S3=P$ e $S4=P#P#P#P$. Facendo la somma connessa $S1#S2$, e usando le proprietà della somma connessa (nello specifico $T#P=P#P#P$), ottengo la somma connessa di 5 piani proiettivi. Ottendo la somma connessa di 5 piani proiettivi anche facendo la somma connessa $S3#S4$. Quindi le due somme connesse sarebbero omeomorfe nonostante le superfici di partenza non lo siano tra di loro.
Il punto c) è anche falso, e ho pensato di farlo vedere calcolando la caratteristica di Eulero: $\chi=10-8+6=4$. Fatto ciò ho pensato di vedere se una superficie con questa caratteristica di Eulero potesse essere una somma connessa di piani o di tori, ma se lo fosse sarebbe somma connessa di n elementi, con n numero negativo. Questa superficie quindi non è omeomorfa nè a somma connessa di tori, nè a somma connessa di piani e non è nemmeno omeomorfa ad una sfera, perchè avendo 10 spigoli e non 12 non è un cubo.
La mia risoluzione dell'esercizio è corretta?
Risposte
"isabellaaa97":
Direi che la a) è falsa, perchè essendo la caratteristica di Eulero $\chi=-18$ un numeri pari, questa potrebbe essere sia caratteristica di somma connessa di piani proiettivi (nello specifico 20) sia di tori (nello specifico 10).
Sì, è giusto.
La b) è falsa, ho pensato di creare un controesempio considerando $S1=T$, $S2=P#P#P$, $S3=P$ e $S4=P#P#P#P$. Facendo la somma connessa $S1#S2$, e usando le proprietà della somma connessa (nello specifico $T#P=P#P#P$), ottengo la somma connessa di 5 piani proiettivi. Ottendo la somma connessa di 5 piani proiettivi anche facendo la somma connessa $S3#S4$.
Pure questo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo