Correzione esercizio sottospazio vettoriale

[Ingsim]

Ciao a tutti!!! mi sono imbattuto in questo esercizio con correzione ma non riesco a capire alcuni punti.

In R3 dotato del prodotto scalare usuale, si consideri il vettore v = (2, 2, 0).
(i) Trovare un sottospazio vettoriale V di dimensione 2 tale che la proiezione ortogonale di v su V sia (1, 2, −1). Trovare una base ortonormale per V .
(ii) Sia W il sottospazio vettoriale di dimensione 1 tale che la proiezione ortogonale di v su W sia (0, 2, 0). Calcolare W ⊥.

Correzione:
Il sottospazio V ⊥ deve contenere il vettore v − pV (v) = (2, 2, 0) − (1, 2, −1) = (1, 0, 1). Osserviamo che (1, 0, 1) (che deve appartenere a V ⊥) `e effettivamente ortogonale a (1,2,−1) (che deve appartenere a V). Per ipotesi dimV = 2, quindi dimV⊥ = 3−2 = 1, pertanto V ⊥ = <(1, 0, 1)>. Quindi
V = <(0, 1, 0), (1, 0, −1)>.
Il sottospazio W deve contenere pW(v) = (0,2,0) e per ipotesi `e di dimensione 1, dunque
W = <(0, 1, 0)>. Quindi W ⊥ = <(1, 0, 0), (0, 0, 1)>. Osserviamo ancora una volta che pW ⊥ (v) = (2, 2, 0) − (0, 2, 0) = (2, 0, 0) `e effettivamente ortogonale a (0, 1, 0).

Quello che non capisco è da dove salta fuori V = <(0, 1, 0), (1, 0, −1)>, non doveva mica esserci (1,2,-1) visto che appartiene a V?
Stessa cosa per W e W ⊥..
Aiutatemi per favore

[vict85]

[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]

[vict85]

Nel caso di $W$ ha semplicemente fatto riferimento al fatto che quei $3$ vettori costituiscono la base canonica ortonormale di $RR^3$.

Nel secondo caso ha solo notato che $0*1 + 0*1 + 1*0 = 0$ e che $1*1 + 0*0 -1*1 = 1-1 = 0$

P.S.: Il forum possiede un metodo di inserimento delle formule. Ti suggerisco di dargli un'occhiata