Correzione esercizio conica

[asbanko2]

B uongiorno a tutti stavo facendo un esercizio su una conica ma credo di sbagliare una cosa allora :
determinare il valore di k per cui ∂ è una parabola degenere. Trovare le equazioni delle rette che compongono ∂

∂ $ x^2+2ky^2+4xy+2x+2ky=0 $

Come prima cosa per avere una parabolo degenere devo avere det(A)=0 e per essere una parabola det(Q)=0
A = $ | ( 1 , 2 , 1 ),( 2 , 2k , k ),( 1 , k , 0 ) | $ per k = 0 e K=2

Q = $ | ( 1 , 2 ),( 2 , 2k ) | $ per K=2

quindi in conclusione per essere una parabola degenere sarà ∂ = $ x^2+4y^2+4xy+2x+4y=0 $

fino a qui mi sembra tutto giusto poi quando devo trovare le due rette mi calcolo M e D

M= $ sqrt(1/5) ( ( -2 , 1 ),( 1 , 2 ) ) $ e D = $ ( ( 0 , 0 ),( 0 , 5 ) ) $


$ { ( x= 1/sqrt5 (-2x'+y') ),( y= 1/sqrt5(x'+2y') ):} $

e inserendo i valori e semplificando viene questo

$ 12/5x^2 +73/5y^2 +48/5xy+2sqrt(5)y $

pero quando faccio il cambiamento di coordinate non mi leva il termine misto e mi si trasforma in un paraboloide ellittico .. cosa sto sbagliando?

Grazie mille

[asbanko2]

comunque sicuramente c'è un errore da qualche parte ma ho scoperto che grazie a un teorema cioè "Teorema di riduzione in forma canonica " si risolve il tutto con pochissimi passaggi

Comunque l'ho risolto facendo cosi : trovato ∂ $ x^2+4y^2+4xy+2x+4y=0 $
e sapendo che det(A)= 0 e det(Q)=0 mi trovo gli autovalori in Q $ | ( 1-x , 2 ),( 2 , 4-x ) | $ che sono 0 e 5
quindi D= $ | ( 0 , 0 ),( 0 , 5) | $ essendo una parabola degenere sarà del tipo $ µY^2+r=0 $ quindi $ 5Y^2+r=0 $
ora per trovare le equazioni delle rette che compongono ∂ bisogna prendere l'autospazio associato a 0 e in questo caso è $ x+2y=0 $ quindi $ x^2+4y^2+4xy+2x+4y=(x+2y+k)(x+2y+h) $ segue
$ { ( h+k=2 ),( 2h+2k=4 ),( hk=0 ):} $ K=0 e H=2

le due rette sono $ (x+2y)(x+2y+2) $