Correzione di un esame
Correzione dell'esame di Matematica Discreta Complementi
Prova del 25/5/2009
1) Si consideri il seguente sistema
${(x,+y,+2\alpha z,-2\alpha w, = 2),(x,+2\alpha y, + z, - w, = 4),(x,,,- w, = 3):}$
Stabilire per quali valorei del parametro reale $\alpha$ il sistema ammette soluzioni, in caso affermativo determinarle.
2) Sia $L_\alpha : RR^3 \to RR^3$ cosi' definita: per ogni $\alpha \in RR$
$L_\alpha(x,y,z) = (x, x+\alpha z, 2\alpha x + z + y)$
Stabilire per quali valori di $\alpha \in RR$, $L_\alpha$ e' invertibile e per tali valori determinare l'applicazione inversa.
3) Data la seguente matrice $A_\alpha$ con $\alpha \in RR$
$A_\alpha = ((\alpha, 1, 0), (\alpha, 1, 0), (0, 0, 2\alpha))$
a) determinare, al variare del parametro $\alpha$, gli autovalori.
b) Stabilire per quali valori di $\alpha \in RR$ la matrice e' diagonalizzabile.
(Si consiglia di determinare preliminarmente per quali valori del parametro $\alpha$ gli autovalori sono tutti distinti)
1) Un sistema in 3 equazioni e 4 incognite. E' possibile usare il teorema di Rouche'-Capelli per sapere se questo sistema ha delle soluzioni: ha soluzioni se e solo se la matrice incompleta e quella completa hanno lo stesso rango.
Ho ragionato cosi': poiche' il rango $r$ di una matrice $m xx n$ e' minore o uguale a $\min(m, n)$, sicuramente il rango e' minore o uguale di 3. Ed essendo $r$ la dimensione dello spazio generato dalle colonne della matrice, possiamo trovare il rango della matrice incompleta trovando al piu' 3 vettori linearmente indipendenti.
Sia quindi la matrice incompleta del sistema $A=((1, 1, 2\alpha, -2\alpha),(1, 2\alpha, 1, -1), (1, 0, 0, -1)$.
Verifichiamo che le prime 3 colonne sono linearmente indipendenti:
$a((1), (1), (1)) + b((1), (2\alpha), (0)), c((2\alpha), (1), (0)) = ((0), (0), (0))$ sse $a, b, c$ sono nulli.
${(a + b + 2\alpha c = 0), (a + 2\alpha b + c = 0), (a = 0):}$ ${(a=0),(b = -2\alpha c),(c = -2\alpha b):}$ ${(a=0),(b=0),(c=0):}$
Quindi le tre colonne sono linearmente indipendenti e quindi la matrice ha rango 3.
Lo stesso ragionamento e' applicabile alla matrice completa
$A' = ((1, 1, 2\alpha, -2\alpha, 2), (1, 2\alpha, 1, -1, 4),(1, 0, 0, -1, 3))$
da cui si ricava un rango 3.
Poiche' le due matrici hanno lo stesso rango, per il teorema di Rouche'-Capelli il sistema ha almeno una soluzione.
Non ho idea di come procedere per trovare la soluzione. Ho provato a risolvere il sistema "a mano" con le equazioni, ma apparentemente senza successo.
2) Sappiamo che, avendo una certa applicazione lineare $f$, essa ha una matrice associata $A$. Inoltre, la matrice inversa $A^(-1)$ e' la matrice associata all'applicazione inversa $f^(-1)$. Quindi ci basta trovare la matrice associata alla funzione $L_\alpha$, verificare che sia invertibile ed eventualmente invertirla.
Usiamo le basi canoniche:
$L_\alpha(1, 0, 0) = (1, 1, 2\alpha)$
$L_\alpha(0, 1, 0) = (0, 0, 1)$
$L_\alpha(0, 0, 1) = (0, \alpha, 1)$
Quindi la matrice associata $A = ((1, 0, 0),(1, 0, \alpha),(2\alpha, 1, 1))$.
La matrice e' invertibile se ha rango 3, quindi se le 3 righe sono linearmente indipendenti, quindi se $\alpha \neq 0$.
Il suo determinante e' $-\alpha$
La matrice inversa che ho calcolato e $A^(-1) = ((1, 0, 0),(-2\alpha - 1/\alpha, -1/\alpha, 1),(-1/\alpha, 1/\alpha, 0))$, che e' quindi la matrice associata all'applicazione inversa
$L_\alpha^(-1)(x, y, z) = (x, x(-2\alpha -1/\alpha) - y/\alpha + z, -x/\alpha + y/\alpha)$
3) Questo esercizio l'ho toppato alla grande nell'esame. Grandioso! Verro' sicuramente bocciato. Comunque, ecco come andava risolto (credo).
a) Risolviamo $det(A_\alpha - \lambda I) = 0$.
$det(A_\alpha - \lambda I) = |(\alpha - \lambda, 1, 0), (\alpha, 1-\lambda, 0), (0, 0, 2\alpha-\lambda)| = (2\alpha-\lambda) * |(\alpha - \lambda, 1),(\alpha, 1 - \lambda)| = (2\alpha-\lambda)[(\alpha - \lambda)(1 - \lambda) - \alpha]=(2\alpha - \lambda)(\lambda)(\lambda - \alpha + 1)$
Quindi
$(2\alpha - \lambda)(\lambda)(\lambda - \alpha + 1) = 0$ per $\lambda = 2\alpha$ o $\lambda = 0$ o $\lambda = \alpha - 1$, che sono i 3 autovalori. Se $\alpha$ e' nullo o pari a 1, abbiamo 2 autovalori distinti, altrimenti 3.
b) Questa seconda parte l'ho sbagliata alla grande. Mi son fatto trarre in inganno dalle 2 righe uguali nella matrice e ho detto che non e' diagonalizzabile... E invece no, perche' abbiamo 3 autovalori distinti, per $\alpha \ne 0$ e $\alpha \ne 1$.
A parte che nella piu' ottimistica delle opzioni verro' bocciato, come si fa a risolvere il sistema $n xx m$?
Grazie,
ciao
Prova del 25/5/2009
1) Si consideri il seguente sistema
${(x,+y,+2\alpha z,-2\alpha w, = 2),(x,+2\alpha y, + z, - w, = 4),(x,,,- w, = 3):}$
Stabilire per quali valorei del parametro reale $\alpha$ il sistema ammette soluzioni, in caso affermativo determinarle.
2) Sia $L_\alpha : RR^3 \to RR^3$ cosi' definita: per ogni $\alpha \in RR$
$L_\alpha(x,y,z) = (x, x+\alpha z, 2\alpha x + z + y)$
Stabilire per quali valori di $\alpha \in RR$, $L_\alpha$ e' invertibile e per tali valori determinare l'applicazione inversa.
3) Data la seguente matrice $A_\alpha$ con $\alpha \in RR$
$A_\alpha = ((\alpha, 1, 0), (\alpha, 1, 0), (0, 0, 2\alpha))$
a) determinare, al variare del parametro $\alpha$, gli autovalori.
b) Stabilire per quali valori di $\alpha \in RR$ la matrice e' diagonalizzabile.
(Si consiglia di determinare preliminarmente per quali valori del parametro $\alpha$ gli autovalori sono tutti distinti)
1) Un sistema in 3 equazioni e 4 incognite. E' possibile usare il teorema di Rouche'-Capelli per sapere se questo sistema ha delle soluzioni: ha soluzioni se e solo se la matrice incompleta e quella completa hanno lo stesso rango.
Ho ragionato cosi': poiche' il rango $r$ di una matrice $m xx n$ e' minore o uguale a $\min(m, n)$, sicuramente il rango e' minore o uguale di 3. Ed essendo $r$ la dimensione dello spazio generato dalle colonne della matrice, possiamo trovare il rango della matrice incompleta trovando al piu' 3 vettori linearmente indipendenti.
Sia quindi la matrice incompleta del sistema $A=((1, 1, 2\alpha, -2\alpha),(1, 2\alpha, 1, -1), (1, 0, 0, -1)$.
Verifichiamo che le prime 3 colonne sono linearmente indipendenti:
$a((1), (1), (1)) + b((1), (2\alpha), (0)), c((2\alpha), (1), (0)) = ((0), (0), (0))$ sse $a, b, c$ sono nulli.
${(a + b + 2\alpha c = 0), (a + 2\alpha b + c = 0), (a = 0):}$ ${(a=0),(b = -2\alpha c),(c = -2\alpha b):}$ ${(a=0),(b=0),(c=0):}$
Quindi le tre colonne sono linearmente indipendenti e quindi la matrice ha rango 3.
Lo stesso ragionamento e' applicabile alla matrice completa
$A' = ((1, 1, 2\alpha, -2\alpha, 2), (1, 2\alpha, 1, -1, 4),(1, 0, 0, -1, 3))$
da cui si ricava un rango 3.
Poiche' le due matrici hanno lo stesso rango, per il teorema di Rouche'-Capelli il sistema ha almeno una soluzione.
Non ho idea di come procedere per trovare la soluzione. Ho provato a risolvere il sistema "a mano" con le equazioni, ma apparentemente senza successo.
2) Sappiamo che, avendo una certa applicazione lineare $f$, essa ha una matrice associata $A$. Inoltre, la matrice inversa $A^(-1)$ e' la matrice associata all'applicazione inversa $f^(-1)$. Quindi ci basta trovare la matrice associata alla funzione $L_\alpha$, verificare che sia invertibile ed eventualmente invertirla.
Usiamo le basi canoniche:
$L_\alpha(1, 0, 0) = (1, 1, 2\alpha)$
$L_\alpha(0, 1, 0) = (0, 0, 1)$
$L_\alpha(0, 0, 1) = (0, \alpha, 1)$
Quindi la matrice associata $A = ((1, 0, 0),(1, 0, \alpha),(2\alpha, 1, 1))$.
La matrice e' invertibile se ha rango 3, quindi se le 3 righe sono linearmente indipendenti, quindi se $\alpha \neq 0$.
Il suo determinante e' $-\alpha$
La matrice inversa che ho calcolato e $A^(-1) = ((1, 0, 0),(-2\alpha - 1/\alpha, -1/\alpha, 1),(-1/\alpha, 1/\alpha, 0))$, che e' quindi la matrice associata all'applicazione inversa
$L_\alpha^(-1)(x, y, z) = (x, x(-2\alpha -1/\alpha) - y/\alpha + z, -x/\alpha + y/\alpha)$
3) Questo esercizio l'ho toppato alla grande nell'esame. Grandioso! Verro' sicuramente bocciato. Comunque, ecco come andava risolto (credo).
a) Risolviamo $det(A_\alpha - \lambda I) = 0$.
$det(A_\alpha - \lambda I) = |(\alpha - \lambda, 1, 0), (\alpha, 1-\lambda, 0), (0, 0, 2\alpha-\lambda)| = (2\alpha-\lambda) * |(\alpha - \lambda, 1),(\alpha, 1 - \lambda)| = (2\alpha-\lambda)[(\alpha - \lambda)(1 - \lambda) - \alpha]=(2\alpha - \lambda)(\lambda)(\lambda - \alpha + 1)$
Quindi
$(2\alpha - \lambda)(\lambda)(\lambda - \alpha + 1) = 0$ per $\lambda = 2\alpha$ o $\lambda = 0$ o $\lambda = \alpha - 1$, che sono i 3 autovalori. Se $\alpha$ e' nullo o pari a 1, abbiamo 2 autovalori distinti, altrimenti 3.
b) Questa seconda parte l'ho sbagliata alla grande. Mi son fatto trarre in inganno dalle 2 righe uguali nella matrice e ho detto che non e' diagonalizzabile... E invece no, perche' abbiamo 3 autovalori distinti, per $\alpha \ne 0$ e $\alpha \ne 1$.
A parte che nella piu' ottimistica delle opzioni verro' bocciato, come si fa a risolvere il sistema $n xx m$?
Grazie,
ciao
Risposte
Es 1 ) la tua conclusione che le tre colonne sono lin indip non è corretta in quanto dipende deal valore che assume $ alpha $.
Se ad esempio $ alpha =1/2$ le colonne sono lin dip.
La matrice di coefficienti ha rango $>= 2 $ .
Esaminando le sottomatrici di ordine 3 , si vede che il rango è sempre 3, tranne che nel caso in cui $ alpha = 1/2 $ .
Se $ alpha ne 1/2 $ il sistema ha $oo ^1 $ soluzioni che puoi trovare spostando a termine noto la variabile $w $ completa di suoi coefficienti .
Ottieni subito $x=3+w $ e poi sostituendo le altre incognite $y,z $ in funzione di $w $.
Va poi esaminato il caso $ alpha =1/2 $.
Se ad esempio $ alpha =1/2$ le colonne sono lin dip.
La matrice di coefficienti ha rango $>= 2 $ .
Esaminando le sottomatrici di ordine 3 , si vede che il rango è sempre 3, tranne che nel caso in cui $ alpha = 1/2 $ .
Se $ alpha ne 1/2 $ il sistema ha $oo ^1 $ soluzioni che puoi trovare spostando a termine noto la variabile $w $ completa di suoi coefficienti .
Ottieni subito $x=3+w $ e poi sostituendo le altre incognite $y,z $ in funzione di $w $.
Va poi esaminato il caso $ alpha =1/2 $.
Se $ alpha =1/2 $ le prime due equazioni sono incompatibili e quindi il sistema è impossibile.
Grazie Camillo 
Cosa ne pensi degli altri 2 esercizi?
Grazie ancora
Ciao
Cosa ne pensi degli altri 2 esercizi?
Grazie ancora
Ciao
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