Correttezza esercizio curve
ciao a tutti!
tra gli esercizi di geometria differenziale ne avevo uno sulle curve, ecco il testo
data la curva $a(t)=(4t+2; t-5; t^2)$
°determinare il piano osculatore nel punto $a(0)$
ho visto subito che $t$ non era il parametro d'arco, e qui iniziano i miei dubbi perchè la prof ha risolto l'esercizio riparametrizzando la curva per parametro d'arco e trovando il vettore tangente in $t=0$ e quello normale in $t=0$ e calcolando il piano che essi generavano, cioè il piano osculatore.
Io invece.....dimenticandomi di riparametrizzare......ho calcolato il vettore tangente, in generale non nel punto $t=0$,
e ottengo che questo vettore è $vec t=a'(t)=(4 ,1 ,2t)$
poi ho calcolato la derivata seconda della mia curva e l'ho normalizzata, praticamente ho trovato il vettore normale a $vec t$
ottenendo $vec n=(0, 0 ,1)$
ora per calcolare il piano osculatore ho applicato questa formula, trovata sul libro di analisi, $<(x, y, z)-a(0),vec b(0)>$ <- (intendo il prodotto scalare)
il vettore binormale $vec b$ l'ho calcolato con la formula di frenet ottenendo $vec b=(1, -4, 0)$
esso era uguale al vettore calcolato in $t=0$ cioè $vec b(t)=vec b(0)$ e ho applicato la formula che ho nominato prima ottenendo il mio piano osculatore.
tutti i risultati mi vengono uguali a quelli della prof, che però ha riparametrizzato, allora il mio dubbio è se il mio esercizio è ugualmente corretto o se mi è uscito uguale solo per fortuna!!!
anche perchè se fosse giusto mi risparmierei un bel pò di calcoli dovuti alla riparametrizzazione!!!
grazie in anticipo.......per le numerose risposte!!!! ahahah
tra gli esercizi di geometria differenziale ne avevo uno sulle curve, ecco il testo
data la curva $a(t)=(4t+2; t-5; t^2)$
°determinare il piano osculatore nel punto $a(0)$
ho visto subito che $t$ non era il parametro d'arco, e qui iniziano i miei dubbi perchè la prof ha risolto l'esercizio riparametrizzando la curva per parametro d'arco e trovando il vettore tangente in $t=0$ e quello normale in $t=0$ e calcolando il piano che essi generavano, cioè il piano osculatore.
Io invece.....dimenticandomi di riparametrizzare......ho calcolato il vettore tangente, in generale non nel punto $t=0$,
e ottengo che questo vettore è $vec t=a'(t)=(4 ,1 ,2t)$
poi ho calcolato la derivata seconda della mia curva e l'ho normalizzata, praticamente ho trovato il vettore normale a $vec t$
ottenendo $vec n=(0, 0 ,1)$
ora per calcolare il piano osculatore ho applicato questa formula, trovata sul libro di analisi, $<(x, y, z)-a(0),vec b(0)>$ <- (intendo il prodotto scalare)
il vettore binormale $vec b$ l'ho calcolato con la formula di frenet ottenendo $vec b=(1, -4, 0)$
esso era uguale al vettore calcolato in $t=0$ cioè $vec b(t)=vec b(0)$ e ho applicato la formula che ho nominato prima ottenendo il mio piano osculatore.
tutti i risultati mi vengono uguali a quelli della prof, che però ha riparametrizzato, allora il mio dubbio è se il mio esercizio è ugualmente corretto o se mi è uscito uguale solo per fortuna!!!
anche perchè se fosse giusto mi risparmierei un bel pò di calcoli dovuti alla riparametrizzazione!!!
grazie in anticipo.......per le numerose risposte!!!! ahahah
Risposte
sicuramente il piano osculatore puoi sempre trovarlo anche senza riparametrizzare... però di solito viene chiesto di farlo per semplificare i conti nei passaggi successivi (o almeno credo che sià così)
ok, grazie!
in questo caso i conti venivano molto più semplici senza riparametrizzare!!!
in questo caso i conti venivano molto più semplici senza riparametrizzare!!!
..ma per calcolare il piano osculatore non serve nemmeno stare a calcolare normale, binormale, ecc..
il piano osculatore è un piano che ha un cottato almeno del secondo ordine con la curva in un punto; ipotiziamo che la curva $\alpha$ sia data da $(f(u), g(u), h(u))$ e si voglia calcolare il piano osculatore in $u_0$, allora è sufficiente scrivere:
$|(x-f(u_0), y-g(u_0), z-h(u_0)), (f'(u_0), g'(u_0), h'(u_0)), (f''(u_0), g''(u_0), h''(u_0))|=0
calcola il determinante di questa matrice, uguaglialo a zero ed hai trovato l'equazione del piano osculatore.
il piano osculatore è un piano che ha un cottato almeno del secondo ordine con la curva in un punto; ipotiziamo che la curva $\alpha$ sia data da $(f(u), g(u), h(u))$ e si voglia calcolare il piano osculatore in $u_0$, allora è sufficiente scrivere:
$|(x-f(u_0), y-g(u_0), z-h(u_0)), (f'(u_0), g'(u_0), h'(u_0)), (f''(u_0), g''(u_0), h''(u_0))|=0
calcola il determinante di questa matrice, uguaglialo a zero ed hai trovato l'equazione del piano osculatore.
in effetti ritorna anche con la tua formula, che alla fine è il classico calcolo del piano per un punto con i due vettori generatori.
il mio dubbio è perchè mai la prof abbia riparametrizzato il tutto!
anche perchè ha complicato molto i calcoli!
lei nella spiegazione ha detto che per calcolare il vettore normale ho bisogno del parametro d'arco.
Io, però, facendo alcuni esercizi svolti trovati in rete ne ho trovato uno dove per calcolare vettore normale, binormale,.... non riparametrizzava mai per parametro d'arco.
Quindi quello che io non riesco proprio a capire è quando si deve riparametrizzare e quando no,.....in poche parole a cosa serve riparametrizzare????
grazie
il mio dubbio è perchè mai la prof abbia riparametrizzato il tutto!
anche perchè ha complicato molto i calcoli!
lei nella spiegazione ha detto che per calcolare il vettore normale ho bisogno del parametro d'arco.
Io, però, facendo alcuni esercizi svolti trovati in rete ne ho trovato uno dove per calcolare vettore normale, binormale,.... non riparametrizzava mai per parametro d'arco.
Quindi quello che io non riesco proprio a capire è quando si deve riparametrizzare e quando no,.....in poche parole a cosa serve riparametrizzare????
grazie
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