Corollario del Teorema di Laplace.

[Pasquale 90]

Buonasera, vi riporto una proposizione che discende dal teorema di Laplace:

Sia $A in M_m(K)$ con $K$ campo, siano due indici $i,j=1,...,m$ con $i ne j$ allora

$sum_(h=1)^m a_(ih)A_(jh)=a_(i1)A_(j1)+...+a_(im)A_(im)=0.$

Dove con $A_(jh)=(-1)^(j+h)C_(jh)$ complemento algebrico dell'elemento $a_(jh)$ di $A$.

Dimostrazione:
Denotata con $B$ la matrice che si ottiene dalla matrice $A$ sostituendo la riga i-esima con la j-esima.
La matrice ottenuta ha due righe uguali, dunque il $|B|=0,$ inoltre, per costruzione di $B$ si ha

$B_(ih)=A_(ih)$ e $b_(ih)=a_(jh)$ per $h=1,...,m.$

Dal teorema di Laplace si ha

$0=|B|=sum_(h=1)^nb_(ih)B_(ih)=sum_(h=1)^na_(jh)A_(ih)$

Non capisco perché devo costruirmi la matrice $B$ in tal modo.

Grazie in anticipo.

Ciao

[j18eos]

Io non ho proprio capìto la dimostrazione

Mi permetto di suggerirti di leggere la mia dimostrazione (premessa e conseguenze della proposizione 8.2.21).

Altrimenti Brundu & Landi Note di Algebra Lineare e Geometria A.A. 2014/2015, proposizione V.7.3.

...comunque sospetto che ci sia qualche errore nel testo.

[Pasquale 90]

"j18eos":Io non ho proprio capìto la dimostrazione

Bene... siamo in due .

"j18eos":...comunque sospetto che ci sia qualche errore nel testo.

Il testo è : Introduzione ai metodi di algebra lineare di Nicola Melone, ora provo a vedere se c'è l'errata corrige.

Ho scaricato la tua dispensa, penso che mi tornerà utile, poiché la prof. ha definito il determinante mediante il concetto di forma lineare alternante, grazie.

[j18eos]

Del prof. Melone (geometra combinatorico?) m'hanno parlato benissimo studenti e colleghi (entrambi riferiti a lui!);

la mia dispensa è un lavoro in divenire, quindi ti sconsiglio di stamparla.

Comunque felice di essere stato utile.

P.S.: non esitare\esitate a mandarmi scrivermi (in privato, anche via e-mail) in merito ad essa.