Corollari del teorema del completamento

[Cantor99]

Riporto l'enunciato del teorema del completamento (non so se il nome sia Universale)
"Sia $B={v_1,...,v_n}$ una base di uno spazio vettoriale $V$ e $w_1,..,w_p$ vettori di $V$ (con $p<=n$) linearmente indipendenti. Allora esistono $n-p$ vettori di $B$ che insieme a $w_1,...,w_p$ formano una base di $V$"

Corollario 1: "Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Allora ogni $n$upla di vettori è una base di $V$"
Tutto chiaro basta porre $p=n$

Corollario 2"Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e $w_1,..,w_p$ vettori di $V$. Se $p>n$ allora $w_1,...,w_p$ sono linearmente dipendenti"

Qui ho diversi problemi che segnalerò con dei "perché" (siate clementi anche se la risposta è ovvia) e vi mostro la dimostrazione del libro
"Se i vettori $w_1,...,w_n$ sono linearmente dipendenti abbiamo finito (perché?). Altrimenti per il Corollario 1 é una base (perché?) e, in particolare, un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti. In tal caso $w_1,...,w_n,w_(n+1),..,w_p$ sono necessariamente dipendenti linearmente (perché?)"

A proposito di insiemi massimali, perché "ogni sistema finito di generatori $A$ contiene un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti"?

Ringrazio anticipatamente chi mi aiuterà.

[killing_buddha]

"Cantor99":Corollario 1: "Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Allora ogni $n$upla di vettori è una base di $V$"
Tutto chiaro basta porre $p=n$

Falso. Li devi prendere anche linearmente indipendenti.

Corollario 2"Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e $w_1,..,w_p$ vettori di $V$. Se $p>n$ allora $w_1,...,w_p$ sono linearmente dipendenti"

"Se i vettori $w_1,...,w_n$ sono linearmente dipendenti abbiamo finito (perché?).

Perché è quello che devi dimostrare. Arrivati alla tesi, solitamente una dimostrazione finisce

Altrimenti

Da qui in poi stai supponendo che i primi $n$ vettori del tuo insieme siano linearmente indipendenti.

per il Corollario 1 é una base (perché?)

perché questa è la definizione di base.

e, in particolare, un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti. In tal caso $w_1,...,w_n,w_(n+1),..,w_p$ sono necessariamente dipendenti linearmente (perché?)"

sono piuttosto $w_(n+1),..,w_p$ che si possono scrivere come combinazione degli altri $n$ vettori.

[Cantor99]

Scusa l'enorme ritardo e grazie della risposta