Copertura lineare
Volevo chiarire un passaggio del professore che non capisco bene, cerco quindi una mano.
Definita la copertura lineare come
$ζ=\{a_{1}{\mathbf v}_{1}+\cdots +a_{n}{\mathbf v}_{n}\ |\ a_{1},\ldots ,a_{n}\in RR\}$
in una dimostrazione usa questo passaggio.
abbiamo v1,v2 e w1,w2 linearmente indipendenti, e w1,w2 combinazioni lineari di v1, v2 e dice:
$ ζ(w_1,w_2)⊆ ζ(v_1,v_2)$ (ovvia), per l'inclusione inversa invece gioca sulle dimensioni e sottospazi di dimensione 2.
Ma sinceramente non capisco perché si complichi la vita.
così come $ζ(w_1,w_2)⊆ ζ(v_1,v_2)$ anche $ ζ(v_1,v_2)⊆ζ(w_1,w_2)$ infatti
$ζ(w_1,w_2)$ sono di nuovo combinazioni lineari, di v1, v2 ma $ζ(v_1,v_2)$ sono tutte le possibili combinazioni lineari con tutti i coefficienti possibili, basta riscalarli per avere $ζ(w_1,w_2)$.
Voi come mostrereste questa doppia inclusione in modo rigoroso?
Definita la copertura lineare come
$ζ=\{a_{1}{\mathbf v}_{1}+\cdots +a_{n}{\mathbf v}_{n}\ |\ a_{1},\ldots ,a_{n}\in RR\}$
in una dimostrazione usa questo passaggio.
abbiamo v1,v2 e w1,w2 linearmente indipendenti, e w1,w2 combinazioni lineari di v1, v2 e dice:
$ ζ(w_1,w_2)⊆ ζ(v_1,v_2)$ (ovvia), per l'inclusione inversa invece gioca sulle dimensioni e sottospazi di dimensione 2.
Ma sinceramente non capisco perché si complichi la vita.
così come $ζ(w_1,w_2)⊆ ζ(v_1,v_2)$ anche $ ζ(v_1,v_2)⊆ζ(w_1,w_2)$ infatti
$ζ(w_1,w_2)$ sono di nuovo combinazioni lineari, di v1, v2 ma $ζ(v_1,v_2)$ sono tutte le possibili combinazioni lineari con tutti i coefficienti possibili, basta riscalarli per avere $ζ(w_1,w_2)$.
Voi come mostrereste questa doppia inclusione in modo rigoroso?
Risposte
Che cosa significa \(\{\boldsymbol{\mathrm{v}}\}_1\)?
Chiedo scusa ma non mi ero accorto del problema, ho confuso i "linguaggi", voleva essere un ${v}_i:=\vecv_i=v_i$ (sopra)
OK, immagino tu abbia ragione, queste cose elementari si possono dimostrare in molti modi diversi. Fai bene a cercare dimostrazioni alternative. Immagino che quei "giochi" con sottospazi di dimensione 2 servano esattamente a dimostrare che \(\zeta(v_1, v_2)\) sono "tutte le possibili combinazioni lineari con tutti i coefficienti possibili", come dici tu. Io accetterei come scrivi tu, anzi, meglio, è più corto. Dopo un po', se comunichi con qualcuno con maturità matematica, queste cose diventano ovvie e non ci stai a perdere più del tempo.
Grazie! 
In realtà forse potrei anche rendere la mia idea più formale prendendo la definizione vera e propria delle coperture:
$ζ((v_1,...,v_n))={a_1vecv_1+⋯+a_nvecv_n ∣ a1,...,an∈R}$
$ζ((w_1,...,w_n))={a'_1vecw_1+⋯+a'_nvecw_n ∣ a'1,...,a'n∈R}$
e sapendo che $w_i=lambdav_1+....lambdav_n$
questo permetterebbe di scrivere:
$ζ((w_1,...,w_n))={a_1vecw_1+⋯+a_nvecw_n ∣ a1,...,an∈R}$
e poi giocare con il fatto che se $vecr in {a_1vecv_1+⋯+a_nvecv_n ∣ a1,...,an∈R} <=> vecr=a_1vecv_1+⋯+a_nvecv_n$ e continuando vado a portarmi ad avere gli $a'_i$ della seconda definizione (tanto sono reali e come dicevo scalano un po' come voglio) e viceversa per l'altra inclusione.
L'idea embrionale era un po' questa.
In realtà forse potrei anche rendere la mia idea più formale prendendo la definizione vera e propria delle coperture:
$ζ((v_1,...,v_n))={a_1vecv_1+⋯+a_nvecv_n ∣ a1,...,an∈R}$
$ζ((w_1,...,w_n))={a'_1vecw_1+⋯+a'_nvecw_n ∣ a'1,...,a'n∈R}$
e sapendo che $w_i=lambdav_1+....lambdav_n$
questo permetterebbe di scrivere:
$ζ((w_1,...,w_n))={a_1vecw_1+⋯+a_nvecw_n ∣ a1,...,an∈R}$
e poi giocare con il fatto che se $vecr in {a_1vecv_1+⋯+a_nvecv_n ∣ a1,...,an∈R} <=> vecr=a_1vecv_1+⋯+a_nvecv_n$ e continuando vado a portarmi ad avere gli $a'_i$ della seconda definizione (tanto sono reali e come dicevo scalano un po' come voglio) e viceversa per l'altra inclusione.
L'idea embrionale era un po' questa.
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