Coordinate spazio vettoriale

[StefzX1]

Salve ragazzi, ecco il mio problema :

sia $R^2[t]$ lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2

1. dimostrare che $\beta$ = {1+$t^2$,1-t,1+t+$t^2$} è una base di $R^2[t]$

2. sia C = {1,t,$t^2$} la base canonica di $R^2[t]$ . Calcolare $M_B^C$ e $M_C^B$

3. calcolare le coordinate di p(t) = $a_0$ + $a_1$t + $a_2$$t^2$ rispetto alla base $\beta$.

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Allora per il primo punto ho ricavato i 3 vettori : (1,0,1) , (1,-1,0) , (1,1,1) , e ho visto che sono linearmente indipendenti e quindi formano una base di $\beta$.

Al punto 2 ho avuto un problema : io ho sempre utilizzato la base canonica (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) , ma in questo caso ne ho solo una, e quindi le matrici di passaggio mi diventano delle 3x1 , e qui penso sicuramente di aver sbagliato qualcosa..

Al punto 3 ho riscontrato un ennesimo problema : per trovare quelle coordinate bisogna risolvere il seguente sistema ?

$[[1,0,1],[1,-1,0],[1,1,1]]$ X $((a_0),(a_1),(a_2))$ = $((0),(0),(0))$

Non avendo la soluzione non so mai se sto facendo giusto, quindi mi appello a voi,

Grazie in anticipo,

Stefano Franchini.

[StefzX1]

"Sergio":[quote="StefzX"]Al punto 2 ho avuto un problema : io ho sempre utilizzato la base canonica (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) , ma in questo caso ne ho solo una, e quindi le matrici di passaggio mi diventano delle 3x1 , e qui penso sicuramente di aver sbagliato qualcosa..

Vuoi forse dire che \(\{1,t,t^2\}\) assomiglia un po' troppo a un vettore?
Fai come hai fatto prima con la base \(\beta\) e leggila come \(\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\).
Infatti quella base ha come elementi polinomi in \(t\) (non numeri!), polinomi che hanno tre coefficienti: \(1\) è un polinomio in cui solo il primo è diverso da zero, cioè \(1+0t+0t^2\), \(t\) uno in cui solo il secondo è diverso da zero ecc.[/quote]

ok quindi devo fare così ? :

$[[1,0,1],[1,-1,0],[1,1,1]]$ X $((a_0),(a_1),(a_2))$ = $((1),(0),(0))$

poi

$[[1,0,1],[1,-1,0],[1,1,1]]$ X $((a_0),(a_1),(a_2))$ = $((0),(t),(0))$

ed infine

$[[1,0,1],[1,-1,0],[1,1,1]]$ X $((a_0),(a_1),(a_2))$ = $((0),(0),(t^2))$

ed ottengo una 3x3 che sarebbe quella di passaggio?

E alla fine per il punto 3 moltiplico questa matrice per ($a_0$,$a_1$,$a_2$) e la pongo = (0,0,0) e trovo le 3 coordinate?

Grazie in anticipo.

[StefzX1]

ok è tutto molto chiaro, grazie mille della spiegazione!