Coordinate polari
Ciao a tutti. Mi sono bloccato di nuovo su un integrale. In questo caso è $int_Omegasqrt(4x^2+9y^2)dxdy$ dove $Omega={(x,y): x>=0, y>=-x, 4x^2+9y^2<=4}$
Sul libro è risolto passando a coordinate polari visto che $Omega$ è una porzione di ellisse, per cui pone
$x=1/2rhocostheta$, $y=1/3rhosintheta$, $theta in [-pi/4,pi/2]$, $rhoin[0,2]$
Allora, ho capito la scelta delle nuove coordinate ma ho un problema nei nuovi estremi di integrazione.
Facendo la figura ho capito il perchè della limitazione di $theta$ visto che "va" dalla bisettrice del 4° quadrante verso su fino ad arrivare all'asse y(spiegazione molto poco formale ma spero di aver reso l'idea).
Non capisco come abbia invece fatto a trovare $rho$. O meglio, ho capito il perchè del $>=0$ ma non riesco a capire perchè abbia posto $2$ come limitazione superiore.
Ciao
Sul libro è risolto passando a coordinate polari visto che $Omega$ è una porzione di ellisse, per cui pone
$x=1/2rhocostheta$, $y=1/3rhosintheta$, $theta in [-pi/4,pi/2]$, $rhoin[0,2]$
Allora, ho capito la scelta delle nuove coordinate ma ho un problema nei nuovi estremi di integrazione.
Facendo la figura ho capito il perchè della limitazione di $theta$ visto che "va" dalla bisettrice del 4° quadrante verso su fino ad arrivare all'asse y(spiegazione molto poco formale ma spero di aver reso l'idea).
Non capisco come abbia invece fatto a trovare $rho$. O meglio, ho capito il perchè del $>=0$ ma non riesco a capire perchè abbia posto $2$ come limitazione superiore.
Ciao
Risposte
Alla condizione $4x^2 + 9y^2 \le 4$ sotituisci $x = \frac{1}{2} \rho \cos(\theta)$ e $y = \frac{1}{3} \rho \sin(\theta)$. Che viene fuori?
Ogni tanto mi stupisco di me stesso... In negativo.. Il fatto è che anche in questo caso ho fatto confusione essendoci "quasi" lo stesso termine sia sul dominio che sulla funzione integranda..
Cmq grazie a Tipper.
Visto che sto facendo es del genere se mi servisse più tardi continuerò a postare qui piuttosto che aprire tanti topic sugli stessi argomenti. Ciao
Cmq grazie a Tipper.
Visto che sto facendo es del genere se mi servisse più tardi continuerò a postare qui piuttosto che aprire tanti topic sugli stessi argomenti. Ciao
Altro esempio:
Se ho l'integrale $int_Asqrt(x^2+y^2)dxdy$ dove $A={(x,y): x^2+y^2<=1, y<=x^2}$ e voglio calcolarlo utilizzando le coordinate polari, pongo $x=rhocostheta$, $y=rhosintheta$. $rhoin[0,1]$
Per $theta$ invece non so bene come fare a trovare gli estremi di integrazione. Ho provato a scrivere $y<=x^2$
in coordinate polari, ma viene $rho>=sintheta/(cos^2theta)$. Cosa ne posso ricavare?
Oppure avevo pensato di considerare che la tangente della parabola è $2x$ ma non so come andare avanti.. XD
Se ho l'integrale $int_Asqrt(x^2+y^2)dxdy$ dove $A={(x,y): x^2+y^2<=1, y<=x^2}$ e voglio calcolarlo utilizzando le coordinate polari, pongo $x=rhocostheta$, $y=rhosintheta$. $rhoin[0,1]$
Per $theta$ invece non so bene come fare a trovare gli estremi di integrazione. Ho provato a scrivere $y<=x^2$
in coordinate polari, ma viene $rho>=sintheta/(cos^2theta)$. Cosa ne posso ricavare?
Oppure avevo pensato di considerare che la tangente della parabola è $2x$ ma non so come andare avanti.. XD
In coordinate polari la vedo dura...
Per la parte di $A$ contenuta nel terzo e quarto quadrante puoi usare le coordinate polari, ma per le zone nel primo e nel secondo io imposterei l'integrale così: detti $(-a,b)$ e $(a,b)$ i punti di intersezione fra la parabola e la circonferenza
$\int_{-1}^{-a} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)dydx + \int_{-a}^{0} \int_{0}^{x^2} f(x,y)dydx + \int_{0}^{a} \int_{0}^{x^2} f(x,y) dydx + \int_{a}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y) dydx$
con $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$
$\int_{-1}^{-a} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)dydx + \int_{-a}^{0} \int_{0}^{x^2} f(x,y)dydx + \int_{0}^{a} \int_{0}^{x^2} f(x,y) dydx + \int_{a}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y) dydx$
con $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$
Ok per il calcolo rispetto alle zone nel 3° e nel 4° quadrante, ma essendo le zone del 1° e del 2° simmetriche rispetto ad y non si può usare qualche accorgimento?
Sì, direi che si possono moltiplicare per due i primi due termini e tralasciare gli ultimi due.
Ad ogni modo, anche se ci si riduce a 2soli integrali, sono entrambi molto difficili da calcolare.. Mi sembra strano che non ci sia qualche altro modo..
Ci sarà qualche altro modo, al momento però non mi viene in mente nulla...
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