Coordinate omogenee e punto impropri
Dunque dunque. Sono allo studio delle coniche e vi sono un paio di concetti che, nell'introduzione di questo ultimo capitolo, non mi sono per niente chiari.
Si parte con: "per studiare le coniche e' opportuno ampliare il piano cartesiano con la retta all'infinito, definendo il piano proiettivo" da li' in poi solo formule e passaggi matematici senza uno straccio di commento.
L'unica cosa che si capisce e' il passaggio a coordinate omogenee (per cui x1/x3=x e x2/x3=y) - la cui ragione non mi e' comunque chiara.
Per caso qualcuno sa spiegarmi in parole povere:
1) perche' uno vuole passare ad utilizzare le coordinate omogenee
2) cos'e' il piano proiettivo (e questa retta all'infinito)
3) se x3=0 abbiamo degli elementi chiamati punti impropri. Ok (lo pensavo visto che x3 e' il denominatore) ma come me li immagino nel piano?
Ringraziamenti anticipati
Si parte con: "per studiare le coniche e' opportuno ampliare il piano cartesiano con la retta all'infinito, definendo il piano proiettivo" da li' in poi solo formule e passaggi matematici senza uno straccio di commento.
L'unica cosa che si capisce e' il passaggio a coordinate omogenee (per cui x1/x3=x e x2/x3=y) - la cui ragione non mi e' comunque chiara.
Per caso qualcuno sa spiegarmi in parole povere:
1) perche' uno vuole passare ad utilizzare le coordinate omogenee
2) cos'e' il piano proiettivo (e questa retta all'infinito)
3) se x3=0 abbiamo degli elementi chiamati punti impropri. Ok (lo pensavo visto che x3 e' il denominatore) ma come me li immagino nel piano?
Ringraziamenti anticipati
Risposte
Prima che ti risponda qualcuno più competente di me, avviso che la geometria proiettiva, e la geometria in generale, nei corsi universitari viene trattata con stili spesso moto diversi fra loro. Quindi dovresti dare qualche indicazione di più, per esempio il testo su cui studi, altrimenti rischi di avere risposte ineccepibili ma molto distanti dall'approccio seguito nel tuo corso e perciò incomprensibili.
Si tratta di un insieme di appunti preparati dal docente. Per quello che so' questo e' l'unico capitolo in cui la geometria proiettiva viene accenata (mai toccata fino ad ora e siamo alla fine del programma). Per dare un'idea del contesto, una volta accennato il concetto di coordinate omogenee e punti impropri i passa alla classificazione delle coniche (in base al discriminante della conica) e al concetto di diametro (come polare di un punto improprio).
ciao,
allora dunque io spero di essere chiaro nell'esposione, perchè non so quanto tu possa conoscere il concetto di spazio proiettivo in generale o come il tuo prof te l'abbia esposto,
comunque:
1) si ha la necessità di passare a coordinate omogenee essenzialmente perchè nel piano proiettivo o in generale nello spazio proiettivo a più dimensioni non ci sono eccezioni vale a dire le cose funzionano molto meglio.
non so se ti può essere chiaro.
ad esempio nel piano proiettivo vuoi che due rette si incontrino sempre, quindi cade il concetto di parallelismo, e inoltre non distingui più tra ellisse circonferenza iperbole perchè li classifichi solo in base al determinante della matrice associata alla conica.
2) IL piano proiettivo per definizione è l'insieme delle classi di equivalenza di vettori non nulli di uno spazio vettoriale di dimensione 3, dove la relazione è quella data da un un prodotto per uno scalare diverso da zero.
come immaginartelo? credimi non è semplice! non so che conoscenze tu abbia di topologia... però ad esempio la retta proiettiva reale è una circonferenza... oppure il piano proiettivo complesso è una sfera... quando dico "é"... intendo dire che non sono la proprio la stessa cosa ma dal punto di vista topologico si.
3)come immaginarti la retta impropria? non so... graficamente non puoi disegnarlo il piano proiettivo reale perchè è qualcosa che presenta un "buco"... so che forse ti sembrano poco chiare le cose che ti ho detto...
però credimi nello spazio prioiettivo sopra un campo, in particolare campo algebricamente chiuso, si fa della buona geometria anzi dell'ottima geometria.
se vuoi sapere di più su spazi proiettivi e loro proprietà ti posso consigliare questi due libri
GEOMETRIA 1 , GEOMETRIA 2 , AUTORE SERNESI EDITORE BOLLATI BORINGHIERI...
CREDIMI OTTIMI LIBRI UN PÒ OSTICI ALL'INIZIO MA DAVVERO OTTIMI
allora dunque io spero di essere chiaro nell'esposione, perchè non so quanto tu possa conoscere il concetto di spazio proiettivo in generale o come il tuo prof te l'abbia esposto,
comunque:
1) si ha la necessità di passare a coordinate omogenee essenzialmente perchè nel piano proiettivo o in generale nello spazio proiettivo a più dimensioni non ci sono eccezioni vale a dire le cose funzionano molto meglio.
non so se ti può essere chiaro.
ad esempio nel piano proiettivo vuoi che due rette si incontrino sempre, quindi cade il concetto di parallelismo, e inoltre non distingui più tra ellisse circonferenza iperbole perchè li classifichi solo in base al determinante della matrice associata alla conica.
2) IL piano proiettivo per definizione è l'insieme delle classi di equivalenza di vettori non nulli di uno spazio vettoriale di dimensione 3, dove la relazione è quella data da un un prodotto per uno scalare diverso da zero.
come immaginartelo? credimi non è semplice! non so che conoscenze tu abbia di topologia... però ad esempio la retta proiettiva reale è una circonferenza... oppure il piano proiettivo complesso è una sfera... quando dico "é"... intendo dire che non sono la proprio la stessa cosa ma dal punto di vista topologico si.
3)come immaginarti la retta impropria? non so... graficamente non puoi disegnarlo il piano proiettivo reale perchè è qualcosa che presenta un "buco"... so che forse ti sembrano poco chiare le cose che ti ho detto...
però credimi nello spazio prioiettivo sopra un campo, in particolare campo algebricamente chiuso, si fa della buona geometria anzi dell'ottima geometria.
se vuoi sapere di più su spazi proiettivi e loro proprietà ti posso consigliare questi due libri
GEOMETRIA 1 , GEOMETRIA 2 , AUTORE SERNESI EDITORE BOLLATI BORINGHIERI...
CREDIMI OTTIMI LIBRI UN PÒ OSTICI ALL'INIZIO MA DAVVERO OTTIMI