Coordinate ipersferiche

[billyballo2123]

Buongiorno a tutti!
Ho visto su wikipedia la definizione di coordinate ipersferiche. Ora, nel caso delle coordinate polari [sferiche] riesco effettivamente a dimostrare che scelti opportunamente $r$ e $\theta$ [$r$, $\vartheta$ e $\varphi$], posso rappresentare qualunque vettore di $\mathbb{R}^2$ [$\mathbb{R}^3$] mediante le formule
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
r \cos\vartheta \\
r \sin\vartheta
\end{bmatrix}
\qquad\qquad
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
r \sin\vartheta\cos\varphi \\
r \sin\vartheta\sin\varphi \\
r \cos\vartheta
\end{bmatrix}.
\]

Qulacuno di voi sa come dedurre questa cosa in dimensione $n>3$? Dimostrare cioè che per ogni $x\in\mathbb{R}^n$ esistono $r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-1}$ tali che valgano le formule delle coordinate ipersferiche?

[spugna2]

Per prima cosa si dovrà avere $r=||x||$, in modo che $y=x/r$ abbia norma unitaria. Le coordinate di $y$ soddisfano quindi $y_1^2+...+y_n^2=1$, e se introduciamo la variabile $\rho=\sqrt{y_2^2+...+y_n^2}$ abbiamo $y_1^2+\rho^2=1$, quindi $y_1$ e $\rho$ possono essere visti rispettivamente come coseno e seno di un angolo $\vartheta_1 \in [0,\pi]$. A questo punto possiamo scrivere $(y_2,...,y_n)=\sin \vartheta_1 * v$, dove $v$ è un vettore unitario in $RR^{n-1}$, quindi se ragioniamo per induzione e supponiamo di saper già risolvere il problema con una dimensione in meno, sappiamo scrivere le componenti di $v$ usando seni e coseni di opportuni angoli $\vartheta_2,...\vartheta_{n-1}$, e andando a sostituire troviamo un'espressione analoga per $x$.

[billyballo2123]

Wow! Spiegazione chiara, semplice e completa! Grazie mille!!!

[Sk_Anonymous]

A latere segnalo queste note, che ho sempre trovato utili ed illuminanti.

[billyballo2123]

Concordo, spiegano dettagli tecnici che vengono quasi sempre tralasciati.