Coordinate di una 2-forma

[dissonance]

In \(\mathbb{R}^4\) prendiamo la 1-forma \(A_\mu dx^{\mu}\). Il suo differenziale esterno \(dA\) è allora \(\partial_\nu A_{\mu}dx^\nu \wedge dx^\mu\). Giusto?

Se è così allora, in coordinate, dovremmo avere
\[(dA)_{\mu \nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_{\nu}A_{\mu}.\]
E invece secondo il libro che sto leggendo ho sbagliato il segno, è corretto
\[(dA)_{\mu \nu}=\partial_\nu A_\mu - \partial_{\mu}A_{\nu}.\]

Mah. Che ne dite?

[Pappappero1]

Giusto una banalità: il libro ti dice esplicitamente che $(dA)_{\mu \nu}$ è il coefficiente di $d x^{\nu} \wedge d x^{\mu}$?? perché se invece fosse il coefficiente di $d x^{\mu} \wedge d x^{\nu}$ le cose tornerebbero...

[dissonance]

E perché tornerebbero...? (Uff, purtroppo con queste cose mi incasino sempre). No, comunque il libro non dice nulla esplicitamente, quindi effettivamente potrebbe essere un problema di convenzioni e basta.

[Pappappero1]

beh..$\wedge$ è antisimmetrico, perciò $dx^{\mu} \wedge dx ^{\nu} = - dx ^{\nu} \wedge dx^{\mu} $.

Tu trovi giustamente $ dA = \partial _{\nu} A^{\mu} dx^{\nu} \wedge dx^{\mu}$. Ribaltando lo wedge vengono i coefficienti opposti a quelli che vengono te.

Comunque non ho mai studiato a fondo queste cose e non sono troppo sicuro di questi discorsi.


edit: chiedo scusa...il wedge XD

[j18eos]

"Pappappero":...lo wedge...

Il wedge o il cuneo, attenzione!

@dissonance Per quanto riguarda la questione, ho cercato tra i miei appunti (in brutta copia) ma non ho trovato una risposta; se non interviene qualcuno informato, aspettami un pò e ti farò sapere!