Coordinate di un polinomio rispetto ad una base
Salve a tutti!Sto trovando problemi a svolgere il seguente esercizio:
Per dimostrare che ${p_1,p_2,p_3}$ è una base di $RR_2[t]$ ho proceduto così:
considero il polinomio generico $p= p_1\alpha_1 + p_2\alpha_2+ p_3\alpha_3=(1+t)\alpha_1 + (1+2t+t^2)\alpha_2 +(t-t^2)\alpha_3$. Questo polinomio è identicamente nullo solo se $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$ e quindi sono linearmente indipendenti e ${p_1,p_2,p_3}$ è una base.
Ho problemi però nel trovare le coordinate in quanto non so come comportarmi nel caso di polinomi. Spero in qualche vostro consiglio, grazie per le eventuali risposte
Per dimostrare che ${p_1,p_2,p_3}$ è una base di $RR_2[t]$ ho proceduto così:
considero il polinomio generico $p= p_1\alpha_1 + p_2\alpha_2+ p_3\alpha_3=(1+t)\alpha_1 + (1+2t+t^2)\alpha_2 +(t-t^2)\alpha_3$. Questo polinomio è identicamente nullo solo se $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$ e quindi sono linearmente indipendenti e ${p_1,p_2,p_3}$ è una base.
Ho problemi però nel trovare le coordinate in quanto non so come comportarmi nel caso di polinomi. Spero in qualche vostro consiglio, grazie per le eventuali risposte
Risposte
Ciao. Se ho capito qual è il problema, io proverei a scrivere ogni $q_k(t)$ come combinazione lineare dei $p_1(t), p_2(t), p_3(t)$, del tipo: $q_k(t)=Ap_1(t)+Bp_2(t)+Cp_3(t)$ e poi imporrei l'identità fra i due polinomi alle due parti dell'uguaglianza. Può funzionare?
"Palliit":
e poi imporrei l'identità fra i due polinomi alle due parti dell'uguaglianza
Cosa intendi?Potresti spiegarti meglio?Se ho ben capito proponi di fare così:
$q_1= Ap_1+Bp_2+ Cp_3$ e $q_2= Ap_1 + Bp_2 + Cp_3$, quindi $q_1=q_2$? Se si, non so come potrei risolvere la situazione..forse non ho afferrato bene. Grazie per la risposta.
No, ovviamente i coefficienti della combinazione lineare per $q_1(t)$ e per $q_2(t)$ sono diversi... Tanto per chiarire, chiamiamoli $A_(ij)$:
$q_1(t)=A_(11)p_1(t)+A_(12)p_2(t)+A_(13)p_3(t) \Rightarrow 2-t+t^2=A_(11)(1+t)+A_(12)(1+2t+t^2)+A_(13)(t-t^2)$
$\Rightarrow 2-t+t^2=A_(11)+A_(12)+(A_(11)+2A_(12)+A_(13))t+(A_(12)-A_(13))t^2$
(salvo errori) e a questo punto imponi l'identità tra i due polinomi e ti trovi $A_(11), A_(12), A_(13)$. Idem per $q_2(t)$. Mi sono spiegato?
$q_1(t)=A_(11)p_1(t)+A_(12)p_2(t)+A_(13)p_3(t) \Rightarrow 2-t+t^2=A_(11)(1+t)+A_(12)(1+2t+t^2)+A_(13)(t-t^2)$
$\Rightarrow 2-t+t^2=A_(11)+A_(12)+(A_(11)+2A_(12)+A_(13))t+(A_(12)-A_(13))t^2$
(salvo errori) e a questo punto imponi l'identità tra i due polinomi e ti trovi $A_(11), A_(12), A_(13)$. Idem per $q_2(t)$. Mi sono spiegato?
Ok grazie. Ora dovrei aver capito!
Un modo per semplificarsi la vita può essere quello di sostituire ad ogni polinomio il vettore formato dai suoi coefficienti:
\(\displaystyle a+bt+ct^2->(a,b,c) \)
In tal modo è facile verificare l'indipendenza dei tre polinomi dati : basta calcolare il rango della matrice A formata con i vettori corrispondenti. Nel nostro caso tale matrice è:
A=\(\displaystyle \begin{vmatrix}1,1,0\\1,2,1\\0,1,-1\end{vmatrix} \)
Il rango di A è quello massimo (=3) e dunque i tre polinomi sono indipendenti. Anche per trovare le coordinate di \(\displaystyle q_1,q_2 \) si può usare il metodo dei vettori. Per esempio con riferimento a \(\displaystyle q_1 \) basta porre :
\(\displaystyle (2,-1,1)=a(1,1,0)+b(1,2,1)+c(0,1,-1)\)
da cui il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}a+b=2\\a+2b+c=-1\\b-c=1\end{cases} \)
La soluzione è \(\displaystyle a=3,b=-1,c=-2 \) e quindi il vettore delle coordinate di \(\displaystyle q_1 \) rispetto alla base scelta è (3,-1,-2). Analogamente per \(\displaystyle q_2 \)
\(\displaystyle a+bt+ct^2->(a,b,c) \)
In tal modo è facile verificare l'indipendenza dei tre polinomi dati : basta calcolare il rango della matrice A formata con i vettori corrispondenti. Nel nostro caso tale matrice è:
A=\(\displaystyle \begin{vmatrix}1,1,0\\1,2,1\\0,1,-1\end{vmatrix} \)
Il rango di A è quello massimo (=3) e dunque i tre polinomi sono indipendenti. Anche per trovare le coordinate di \(\displaystyle q_1,q_2 \) si può usare il metodo dei vettori. Per esempio con riferimento a \(\displaystyle q_1 \) basta porre :
\(\displaystyle (2,-1,1)=a(1,1,0)+b(1,2,1)+c(0,1,-1)\)
da cui il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}a+b=2\\a+2b+c=-1\\b-c=1\end{cases} \)
La soluzione è \(\displaystyle a=3,b=-1,c=-2 \) e quindi il vettore delle coordinate di \(\displaystyle q_1 \) rispetto alla base scelta è (3,-1,-2). Analogamente per \(\displaystyle q_2 \)
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