Coordinate del vettore rispetto una base
Ho un vettore $w=((-1),(1),(0),(-1))$ e devo calcolare le sue coordinate rispetto alla base $B_V={v_1, v_2, v_3}={((1),(0),(1),(0)),((0),(1),(2),(0)),((0),(0),(1),(1))}$
Va bene se calcolo
$((-1),(1),(0),(-1))=\alpha((1),(0),(1),(0))+\beta((0),(1),(2),(0))+\gamma((0),(0),(1),(1))$
e mi trovo i tre parametri
oppure se faccio $B_V(w)=-1v_1+1v_2+0v_3$?
Alcune volte l'ho trovato risolto anche così, ma in questo caso avendo una base di 3 vettori mentre w ha 4 elementi va bene lo stesso escludendo l'ultimo elemento? Non capisco mai come farli questi esercizi quando mi chiedono di trovare le coordinate rispetto una base. Li risolvono sempre con metodi diversi e non capisco più niente.
Va bene se calcolo
$((-1),(1),(0),(-1))=\alpha((1),(0),(1),(0))+\beta((0),(1),(2),(0))+\gamma((0),(0),(1),(1))$
e mi trovo i tre parametri
oppure se faccio $B_V(w)=-1v_1+1v_2+0v_3$?
Alcune volte l'ho trovato risolto anche così, ma in questo caso avendo una base di 3 vettori mentre w ha 4 elementi va bene lo stesso escludendo l'ultimo elemento? Non capisco mai come farli questi esercizi quando mi chiedono di trovare le coordinate rispetto una base. Li risolvono sempre con metodi diversi e non capisco più niente.
Risposte
"Shika93":
Ho un vettore $w=((-1),(1),(0),(-1))$ e devo calcolare le sue coordinate rispetto alla base
$B_V={v_1, v_2, v_3}={((1),(0),(1),(0)),((0),(1),(2),(0)),((0),(0),(1),(1))}$
Va bene se calcolo
$((-1),(1),(0),(-1))=\alpha((1),(0),(1),(0))+\beta((0),(1),(2),(0))+\gamma((0),(0),(1),(1))$
e mi trovo i tre parametri oppure se faccio $B_V(w)=-1v_1+1v_2+0v_3$?
Attento/a che le componenti di $w$ rispetto alla base $B_V$ è $[w]_(B_V)=((-1),(1),(-1))$ cioè $w=-1v_1+1v_2-1v_3$
Comunque non capisco cosa intendi con quel "oppure", in particolare cosa indichi con $B_V(w)$
"Shika93":
[...] in questo caso avendo una base di 3 vettori mentre w ha 4 elementi va bene lo stesso escludendo l'ultimo elemento
$B_V$ è una base di un sottospazio $V sub RR^4$, dove $dim(V)=3$,
e pertanto tutti gli elementi appartenenti a $ V$ saranno C.L. di $v_1, v_2, v_3$.
In un altro esercizio, in riferimento all'"oppure" trovava le coordinate del vettore moltiplicando le componenti del vettore per i singoli vettori della base.
Cioè se il mio vettore è $w=((a),(b),(c),(d))$ e la base $B={v_1, v_2, v_3, v_4}$ faceva $[w}_B=av_1+bv_2+cv_3+dv_4$
Questo l'ho trovati in un esercizio dove la base aveva 3 componenti e il vettore di cui trovare le coordinate aveva 3 componenti anch'esso. In questo caso, dato che il vettore ne ha 4 e la base ne ha 3, mi chiedevo come potessi fare la stessa cosa.
Il risultato che mi hai dato tu deriva dal fatto che $\{(\alpha=-1),(\beta=1),(\gamma=-1):}$, no?
Non so perchè ho scritto quello 0
Cioè se il mio vettore è $w=((a),(b),(c),(d))$ e la base $B={v_1, v_2, v_3, v_4}$ faceva $[w}_B=av_1+bv_2+cv_3+dv_4$
Questo l'ho trovati in un esercizio dove la base aveva 3 componenti e il vettore di cui trovare le coordinate aveva 3 componenti anch'esso. In questo caso, dato che il vettore ne ha 4 e la base ne ha 3, mi chiedevo come potessi fare la stessa cosa.
Il risultato che mi hai dato tu deriva dal fatto che $\{(\alpha=-1),(\beta=1),(\gamma=-1):}$, no?
Non so perchè ho scritto quello 0
"Shika93":
In un altro esercizio, in riferimento all'"oppure" trovava le coordinate del vettore moltiplicando le componenti del vettore per i singoli vettori della base.
Cioè se il mio vettore è $w=((a),(b),(c),(d))$ e la base $B={v_1, v_2, v_3, v_4}$ faceva $[w}_B=av_1+bv_2+cv_3+dv_4$
Infatti questa è la definizione di componenti di un vettore rispetto a una base, le entrate $a, b,c, d$ sono i coefficienti che, moltiplicati per la rispettiva base, ti danno $w$.
Ad esempio, se hai il vettore $z=((2),(5),(0))$, allora le componenti rispetto alla base canonica $E$, le trovi
impostando una C.L. nulla (che non deve essere banale)
$z=alphae_1+betae_2+gammae_3 hArr alpha((1),(0),(0))+beta((0),(1),(0))+gamma((0),(0),(1)) hArr { ( alpha=2 ),(beta=5 ),( gamma=0 ):}$; cioè $[z]_E=((2),(5),(0))$
Da ciò si evince che le componenti di una qualsiasi vettore rispetto alla base canonica, sono date dal vettore stesso.
"Shika93":
Questo l'ho trovati in un esercizio dove la base aveva 3 componenti e il vettore di cui trovare le coordinate aveva 3 componenti anch'esso. In questo caso, dato che il vettore ne ha 4 e la base ne ha 3, mi chiedevo come potessi fare la stessa cosa.
Te l'ho scritto sopra, in $RR^4$ ci sono infiniti sottospazi e non tutti hanno dimensione pari a $4$, per cui se $Asub RR^4$ e $dim(A)<4-n$ con $n=1,2,3 hArr$ base di $A$ è formata da $4-n$ vettori; il che vuol dire che qualsiasi vettore di $A$ sarà combinazione di tali vettori (pur essendo meno di quattro; ovviamente ciò funziona solo con i vettori appartenenti ad $A$).
"Shika93":
Il risultato che mi hai dato tu deriva dal fatto che $\{(\alpha=-1),(\beta=1),(\gamma=-1):}$, no?
Ok. Il dubbio era proprio perchè ho una base di tre vettori e il vettore $w$ ha 4 elementi. Quindi non sapevo se potevo fare
$[w]_B=-1v_1+1v_2+0v_3-1v_4$ (da qua lo 0 di sopra), ma dato che non ho $v_4$ nella base $B$, l'unica è usare i parametri.
$[w]_B=-1v_1+1v_2+0v_3-1v_4$ (da qua lo 0 di sopra), ma dato che non ho $v_4$ nella base $B$, l'unica è usare i parametri.
"Shika93":
$[w]_B=-1v_1+1v_2+0v_3-1v_4$ (da qua lo 0 di sopra), ma dato che non ho $v_4$ nella base $B$, l'unica è usare i parametri.
Scusa ma non ti seguo... $v_4$ quale vettore sarebbe?
Partendo dal fatto che, da come hai scritto nel post iniziale, ai vettori hai assegnato i seguenti nomi (le basi sono ordinate!):
$v_1=((1),(0),(1),(0))$ $v_2=((0),(1),(2),(0))$ $v_3=((0),(0),(1),(1))$
Allora
$w=((-1),(1),(0),(-1))=-((1),(0),(1),(0))+((0),(1),(2),(0))-((0),(0),(1),(1))=$
$=((-1),(0),(-1),(0))+((0),(1),(2),(0))+((0),(0),(-1),(-1))$
$w=((-1),(1),(0),(-1))=-((1),(0),(1),(0))+((0),(1),(2),(0))-((0),(0),(1),(1))=$
$=((-1),(0),(-1),(0))+((0),(1),(2),(0))+((0),(0),(-1),(-1))$
Se $gamma=0$ allora otterresti
$((-1),(0),(-1),(0))+((0),(1),(2),(0))+((0),(0),(0),(0))=((-1),(1),(1),(0)) ne ((-1),(1),(0),(-1))=w$
Ho ipotizzato nel qual caso ci fosse un vettore $v_4$ così da avere una base di dimensione 4.
Il vettore $w$ che hai scritto te è quello che sto cercando? O no?
Il mio dubbio è nato dal fatto che dato che la regola standard è quella che ho scritto sopra e che tu mi hai confermato
sapevo se aveva senso moltiplicare per 0 $v_3$ oppure moltiplicarlo per $-1$ perchè credevo che dovessi seguire la regola con gli elementi nel loro giusto ordine.
In questo caso ho $c=0$ e mi manca $v_4$, quindi non sapevo se fare $av_1+bv_2+cv_3$, oppure $av_1+b_v2+dv_3$ e quindi saltare l'elemento nullo.
Il vettore $w$ che hai scritto te è quello che sto cercando? O no?
Il mio dubbio è nato dal fatto che dato che la regola standard è quella che ho scritto sopra e che tu mi hai confermato
"Shika93":
Cioè se il mio vettore è $w=((a),(b),(c),(d))$ e la base $B={v_1, v_2, v_3, v_4}$ faceva $[w}_B=av_1+bv_2+cv_3+dv_4$
sapevo se aveva senso moltiplicare per 0 $v_3$ oppure moltiplicarlo per $-1$ perchè credevo che dovessi seguire la regola con gli elementi nel loro giusto ordine.
In questo caso ho $c=0$ e mi manca $v_4$, quindi non sapevo se fare $av_1+bv_2+cv_3$, oppure $av_1+b_v2+dv_3$ e quindi saltare l'elemento nullo.
Hai molta confusione...
- Il lemma di Steinitz ci dice che i vettori l.i. possono essere al più quanto sono i generatori (equivalentemente, i vettori l.i. non possono superare il numero di generatori)
- Si definisce base di $RR^n$, che è uno spazio vettoriale, un insieme di vettori che sono generatori e lin. ind..
- definisce $dim(RR^n)$ il numero di vettori contenuti in una base, quindi $dim(RR^n)=n$.
-Per definizione di base, ogni vettore di $RR^n$ può essere scritto come C.L. (che non è nulla né banale; ad eccezzione del vettore nullo) della suddetta base.
Non so risponderti in modo mirato perché non capisco bene quale sia il tuo problema, ti soffermi troppo sulla definizione di componenti, quella che hai citato è valida per i vettori di sottospazi di dimensione 4, ma il sottospazio del tuo esercizio ha dimensione 3.
- Il lemma di Steinitz ci dice che i vettori l.i. possono essere al più quanto sono i generatori (equivalentemente, i vettori l.i. non possono superare il numero di generatori)
- Si definisce base di $RR^n$, che è uno spazio vettoriale, un insieme di vettori che sono generatori e lin. ind..
- definisce $dim(RR^n)$ il numero di vettori contenuti in una base, quindi $dim(RR^n)=n$.
-Per definizione di base, ogni vettore di $RR^n$ può essere scritto come C.L. (che non è nulla né banale; ad eccezzione del vettore nullo) della suddetta base.
Non so risponderti in modo mirato perché non capisco bene quale sia il tuo problema, ti soffermi troppo sulla definizione di componenti, quella che hai citato è valida per i vettori di sottospazi di dimensione 4, ma il sottospazio del tuo esercizio ha dimensione 3.
Per esempio puoi benissimo scrivere il seguente vettore
$z=((6),(0))$ come C.L. della seguente base $B={((2),(0))}$:
$((6),(0))=3((2),(0))$, e quindi si ha che le componenti sono $[z]_B=((3),(0))$
Evidentemente la base $B$ è relativa a uno spazio di $dim=1$,
e quindi è sufficiente un solo vettore (o un qualsiasi suo multiplo) per generare i vettori che vi appartengono.
$z=((6),(0))$ come C.L. della seguente base $B={((2),(0))}$:
$((6),(0))=3((2),(0))$, e quindi si ha che le componenti sono $[z]_B=((3),(0))$
Evidentemente la base $B$ è relativa a uno spazio di $dim=1$,
e quindi è sufficiente un solo vettore (o un qualsiasi suo multiplo) per generare i vettori che vi appartengono.
Aggiungo alcune considerazioni, magari possono essere utili per dissipare la confusione.
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Esempio: i vettori di $mathbb{R}^3$ sono 3-ple di numeri reali.
Un sottospazio $A$ di $mathbb{R}^3$ può essere ad esempio un piano e per generare tutti i suoi vettori bastano due 3-ple di $mathbb{R}^3$ linearmente indipendenti, $vec(b_1)$ e $vec(b_2)$.
Un vettore $vec(v)$ generato dalla combinazione lineare di $vec(b_1)$, $vec(b_2)$ è una 3-pla di $mathbb{R}^3$ appartenente al sottospazio $A$, e le sue coordinate nella base sono $c_1$ e $c_2$:
$vec(v) = c_1 vec(b_1) + c_2 vec(b_2)$
Per indicare le coordinate di $vec(v)$ nella base $B$ in modo stringato, possiamo metterle nella 2-pla seguente:
$[v]_B = ( ( c_1 ),( c_2 ) ) $
come vedi $vec(v)$ è una 3-pla, mentre $[v]_B$ è una 2-pla di $mathbb{R}^2$.
Si chiamano componenti vettoriali di $vec(v)$ rispetto alla base $B= {vec(b_1), vec(b_2)}$:
$vec(v_1) = c_1 vec(b_1)$
$vec(v_2) = c_2 vec(b_2)$
le componenti vettoriali non sono numeri come le coordinate, ma sono vettori, nel nostro esempio sono 3-ple di $mathbb{R}^3$.
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Il punto è che devi immaginare un vettore come un oggetto senza coordinate, semplicemente un punto, l'elemento generico di un certo spazio vettoriale. Puoi avere vettori che sono n-ple di $mathbb{R}^n$, vettori che sono funzioni (polinomi, funzioni a quadrato sommabile, etc.) e così via.
Se il vettore $vec(v)$ si può scrivere come combinazione lineare rispetto a una base di k vettori, allora ad esso sono associate k coordinate. Tutto qui.
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Esempio: i vettori di $mathbb{R}^3$ sono 3-ple di numeri reali.
Un sottospazio $A$ di $mathbb{R}^3$ può essere ad esempio un piano e per generare tutti i suoi vettori bastano due 3-ple di $mathbb{R}^3$ linearmente indipendenti, $vec(b_1)$ e $vec(b_2)$.
Un vettore $vec(v)$ generato dalla combinazione lineare di $vec(b_1)$, $vec(b_2)$ è una 3-pla di $mathbb{R}^3$ appartenente al sottospazio $A$, e le sue coordinate nella base sono $c_1$ e $c_2$:
$vec(v) = c_1 vec(b_1) + c_2 vec(b_2)$
Per indicare le coordinate di $vec(v)$ nella base $B$ in modo stringato, possiamo metterle nella 2-pla seguente:
$[v]_B = ( ( c_1 ),( c_2 ) ) $
come vedi $vec(v)$ è una 3-pla, mentre $[v]_B$ è una 2-pla di $mathbb{R}^2$.
Si chiamano componenti vettoriali di $vec(v)$ rispetto alla base $B= {vec(b_1), vec(b_2)}$:
$vec(v_1) = c_1 vec(b_1)$
$vec(v_2) = c_2 vec(b_2)$
le componenti vettoriali non sono numeri come le coordinate, ma sono vettori, nel nostro esempio sono 3-ple di $mathbb{R}^3$.
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Il punto è che devi immaginare un vettore come un oggetto senza coordinate, semplicemente un punto, l'elemento generico di un certo spazio vettoriale. Puoi avere vettori che sono n-ple di $mathbb{R}^n$, vettori che sono funzioni (polinomi, funzioni a quadrato sommabile, etc.) e così via.
Se il vettore $vec(v)$ si può scrivere come combinazione lineare rispetto a una base di k vettori, allora ad esso sono associate k coordinate. Tutto qui.
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