Coordinate Curvilinee e Basi Locali
Buongiorno.
Sono alle prese con lo studio delle coordinate curvilinee e delle basi locali. Tuttavia vi sono alcuni aspetti che non riesco ben a comprendere, e spero di trovare una delucidazione.
Il problema basilare è quello di collegare uno spazio di coordinate cartesiane ad un sistema di egual numero di coordinate curvilinee, per tramite di una trasformazione di coordinate localmente invertibile.
Al sistema delle coordinate cartesiane associamo una base costituita da versori ortonormali, che hanno la peculiarità di presentare un modulo costante nello spazio, e orientamento invariante.
Il primo aspetto che non ho ben compreso è dove vada posizionata l'origine di questa base. Deve coincidere con l'origine degli assi coordinati, oppure possiamo applicare questa base su ogni punto P individuato nello spazio cartesiano? Inoltre, questo sistema cartesiano deve essere sfruttato per visualizzare dei vettori "posizione" che colleghino l'origine al punto P, oppure ad ogni punto P va applicato un vettore le cui componenti dipendono, mediante qualche funzione, dalle coordinate del punto P stesso?
Passiamo alle coordinate curvilinee. I vettori della base locale si ottengono andando a derivare la trasformazione di coordinate risetto le coordinate cartesiane. I vettori così ottenuti formano la cosiddetta base "covariante", la quale in generale è composta da vettori non più unitari, e orientamento variabile da punto a punto.
Prima domanda: cosa mi garantisce che definendo una base mediante questa derivazione ottengo un set di vettori linearmente indipendenti, cioè idonei a generare una base?
Seconda domanda: perché la base locale viene definita in questo modo? Potremmo scegliere altre strade? E soprattutto, il fatto che i vettori ottenuti non siano più unitari è "desiderabile"? Oppure si tratta del prezzo da pagare per aver definito i vettori di base covariante nel modo visto? Non potremmo ricorrere di nuovo ad una base fatta di versori unitari, con modulo invariante nello spazio?
Terza domanda: Le componenti dei vettori di base covariante in che base sono espresse? Un'altra base cartesiana?
Grazie infinite.
Sono alle prese con lo studio delle coordinate curvilinee e delle basi locali. Tuttavia vi sono alcuni aspetti che non riesco ben a comprendere, e spero di trovare una delucidazione.
Il problema basilare è quello di collegare uno spazio di coordinate cartesiane ad un sistema di egual numero di coordinate curvilinee, per tramite di una trasformazione di coordinate localmente invertibile.
Al sistema delle coordinate cartesiane associamo una base costituita da versori ortonormali, che hanno la peculiarità di presentare un modulo costante nello spazio, e orientamento invariante.
Il primo aspetto che non ho ben compreso è dove vada posizionata l'origine di questa base. Deve coincidere con l'origine degli assi coordinati, oppure possiamo applicare questa base su ogni punto P individuato nello spazio cartesiano? Inoltre, questo sistema cartesiano deve essere sfruttato per visualizzare dei vettori "posizione" che colleghino l'origine al punto P, oppure ad ogni punto P va applicato un vettore le cui componenti dipendono, mediante qualche funzione, dalle coordinate del punto P stesso?
Passiamo alle coordinate curvilinee. I vettori della base locale si ottengono andando a derivare la trasformazione di coordinate risetto le coordinate cartesiane. I vettori così ottenuti formano la cosiddetta base "covariante", la quale in generale è composta da vettori non più unitari, e orientamento variabile da punto a punto.
Prima domanda: cosa mi garantisce che definendo una base mediante questa derivazione ottengo un set di vettori linearmente indipendenti, cioè idonei a generare una base?
Seconda domanda: perché la base locale viene definita in questo modo? Potremmo scegliere altre strade? E soprattutto, il fatto che i vettori ottenuti non siano più unitari è "desiderabile"? Oppure si tratta del prezzo da pagare per aver definito i vettori di base covariante nel modo visto? Non potremmo ricorrere di nuovo ad una base fatta di versori unitari, con modulo invariante nello spazio?
Terza domanda: Le componenti dei vettori di base covariante in che base sono espresse? Un'altra base cartesiana?
Grazie infinite.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo