Coordinate Cartesiane

[gabryelecristianmorgante]

Buongiorno, avrei dei dubbi relativi a questo esercizio:

Nello spazio $\epsilon$ dotato di un riferimento affine $ R(O; i; j; k) $ :
Mostrare che i vettori $ v = (-2, 3, 5) $ e $ w = (4, 1,7) $ sono non paralleli; determinare i vettori
$ u = (\alpha, \beta,\gamma) $ complanari con v e w, e fra essi quelli tali che $ \alpha = 0 $.

La prima parte l'ho risolta verificando che $ u= \lambda w $, trovando che appunto i due vettori non sono paralleli... La seconda parte invece non riesco bene a capire...ho provato a sommare i vettori con $au+bv+cw $ come combinazione lineare e con $ \alpha=0 $ risolvendomi il sistema... Non so se è giusto perchè vengono a=b=c=0. Come posso determinare i vettori complanari con v e w, e fra essi quelli tali che $ \alpha = 0 $. ?

[anto_zoolander]

Non mi pare siano linearmente dipendenti, e se lo fossero, sarebbero paralleli...

Sussiste questa proposizione.

due vettori $v,w$ sono linearmente dipendenti sse l'angolo da loro formato è $0$ o $pi$

naturalmente se adottiamo la definizione di parallelismo che conosciamo, significa vedere se $ subseteq $ o viceversa. In entrambi i casi sarebbero linearmente dipendenti.

$v*w=-8+3+35=30$

$|v|=sqrt(38)$

$|w|=sqrt(66)$

Dunque $arccos(30/(sqrt(38*66)))approx53,12°$ dunque non sono paralleli.

Ora dipende che intendiamo per vettori complanari.
Io intendo che dati tre vettori $u,v,w$ allora $dim =2$
Ovvero il vettore $w$ è combinazione lineare dei vettori $u,v$

[gabryelecristianmorgante]

Perfetto, grazie! Ma non ho capito perchè il vettore w dovrebbe essere combinazione lineare dei vettori u e v...Nella consegna leggo che si devono determinare i vettori complanari con v e w e fra essi quelli tali che $ \alpha =0 $, sembra debba utilizzare il vettore $ u=(\alpha, \beta,\gamma))$ con $ \alpha =0 $ e mettere a sistema svolgendo:$ u=(0, \beta,\gamma) = \lamda(-2,3,5) + \mu (4,1,7) $... E' un modo errato di procedere?