Coordinate
Buongiorno,
sto leggendo il libro "geometria" di Marco Abate e c'è un punto semplice che non ho capito come mostrare.
C'è il paragrafo "coordinate" nel primo capitolo dove spiega che dopo aver assunto un vettore applicato OA=i ogni vettore OP sarà della forma ti, con t scalare. Aveva precedentemente introdotto il prodotto per uno scalare. Che in fin dei conti è una omotetia.
Si tratta di paragrafi iniziali e quindi introduce i concetti propri dell'algebra lineare in maniera graduale e per ora piuttosto intuitiva credo.
Il dubbio è che non riesco a capire come dimostrare che sicuramente ogni numero reale t faccia parte della retta. E' talmente ovvio che lo prendo come un dato di fatto,ma non capisco come mostrarlo formalmente.
Grazie
sto leggendo il libro "geometria" di Marco Abate e c'è un punto semplice che non ho capito come mostrare.
C'è il paragrafo "coordinate" nel primo capitolo dove spiega che dopo aver assunto un vettore applicato OA=i ogni vettore OP sarà della forma ti, con t scalare. Aveva precedentemente introdotto il prodotto per uno scalare. Che in fin dei conti è una omotetia.
Si tratta di paragrafi iniziali e quindi introduce i concetti propri dell'algebra lineare in maniera graduale e per ora piuttosto intuitiva credo.
Il dubbio è che non riesco a capire come dimostrare che sicuramente ogni numero reale t faccia parte della retta. E' talmente ovvio che lo prendo come un dato di fatto,ma non capisco come mostrarlo formalmente.
Grazie
Risposte
Ciao! Ho appena controllato su [strike]un pdf dell'[/strike] Abate, e la descrizione, come hai notato, di vettori, rette, piani è introduttiva e costruita su un apparato intuitivo (quello che non viene definito è lo spazio euclideo, cfr. Cap. 2, nota in basso, che è uno spazio affine).
Come avrai modo di vedere, la retta passante per i vettori $v$ e $w$ di un $\mathbb K$-spazio vettoriale è definita come l'insieme dei vettori della forma $v+tw$, con $t$ appartenente a $\mathbb K$
È il vettore $v+tw$ che per ogni $t\in\mathbb K$ appartiene alla retta, sempre per definizione di retta, e nel tuo caso $v=O$, vettore nullo. Se pensi a come hai definito le operazioni di somma e prodotto per scalare in $\mathbb{R}^n$, con $n=2$ oppure $n=3$, hai una giustificazione "geometrica" di questo fatto.
La costruzione presentata nel primo capitolo è volutamente non-rigorosa, ti consiglio di skimmare velocemente e di utilizzarla per esercitare la tua intuizione verso questi concetti, poi viene il bello
Come avrai modo di vedere, la retta passante per i vettori $v$ e $w$ di un $\mathbb K$-spazio vettoriale è definita come l'insieme dei vettori della forma $v+tw$, con $t$ appartenente a $\mathbb K$
"smirne":
ogni numero reale t faccia parte della retta
È il vettore $v+tw$ che per ogni $t\in\mathbb K$ appartiene alla retta, sempre per definizione di retta, e nel tuo caso $v=O$, vettore nullo. Se pensi a come hai definito le operazioni di somma e prodotto per scalare in $\mathbb{R}^n$, con $n=2$ oppure $n=3$, hai una giustificazione "geometrica" di questo fatto.
La costruzione presentata nel primo capitolo è volutamente non-rigorosa, ti consiglio di skimmare velocemente e di utilizzarla per esercitare la tua intuizione verso questi concetti, poi viene il bello
Ti ringrazio per l'intervento.
Mi sono accorto di aver scritto una imprecisione riguardando il quote che mi hai fatto.
In realtà propriamente avrei voluto scrivere "che prendendo un qualsiasi reale t allora ti rappresenti una retta".
In altre particolare l'autore scrive (pag 26): fissato l'origine O e un vettore unitario OA=i ogni punto P della retta possiamo associare uno e un solo numero reale t tale che OP=ti, con i vettore.
Non riesco però a capire come mostrare che dato un qualunque t reale "ti" sia un vettore OP.
Grazie ancora
.
Mi sono accorto di aver scritto una imprecisione riguardando il quote che mi hai fatto.
In realtà propriamente avrei voluto scrivere "che prendendo un qualsiasi reale t allora ti rappresenti una retta".
In altre particolare l'autore scrive (pag 26): fissato l'origine O e un vettore unitario OA=i ogni punto P della retta possiamo associare uno e un solo numero reale t tale che OP=ti, con i vettore.
Non riesco però a capire come mostrare che dato un qualunque t reale "ti" sia un vettore OP.
Grazie ancora
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Scusa se ti rispondo solo ora 
Il fatto è che lo spazio euclideo come quello in cui stai lavorando, è, appunto, uno spazio affine, in quanto tale soggetto ad una formalizzazione che per scelta dell'autore e che per il pubblico del testo non è presentata nelle prime pagine, preferendo un'introduzione che poggi più sull'intuitivo che su dimostrazioni rigorose e belle (immagino che tu debba ancora incontrare gli spazi vettoriali, almeno al momento in cui avevi letto questa frase).
Se la cosa ti interessa (ed è stra-lecito), si più formalizzare così: considera una retta dello spazio euclideo \(E\) della geometria classica[nota]Quella di Hilbert.[/nota] e \(\mathbb{R}\) in quanto gruppo additivo. Presupponendo che tu abbia fissato sulla retta una relazione d'ordine e un'unità di misura, fai agire \(\mathbb{R}\) associando ad ogni coppia \((r,P)\in\mathbb{R}\times E\) il punto \(P'\in E\) tale che, se \(r>0\) (\(r<0\)), allora \(\bar{PP'}=r\) (\(=-r\)), altrimenti \(P=P'\) . L'azione è semplicemente transitiva, ergo, fissato un punto \(O\) da chiamarsi "origine", l'applicazione \[\mathbb{R}\ni r \mapsto \rho(O)(r)\in E\] è un isomorfismo di insiemi (cioè un'applicazione bigettiva) (\(\rho\) è ovviamente l'immagine dell'azione, che potrebbe essere ristretta a \(\{O\}\)).
L'ho scritto di fretta e male, e non so se ho risposto alla tua domanda: probabilmente c'è un modo per dimostrare quello che chiedi rimanendo nell'ambito dell'algebra lineare elementare, ma credo che siano i concetti di cui sopra che faranno al caso tuo, nel momento in cui deciderai di approfondirli. Guarda anche qui.
"smirne":
fissato l'origine O e un vettore unitario OA=i ogni punto P della retta possiamo associare uno e un solo numero reale t tale che OP=ti, con i vettore.
Il fatto è che lo spazio euclideo come quello in cui stai lavorando, è, appunto, uno spazio affine, in quanto tale soggetto ad una formalizzazione che per scelta dell'autore e che per il pubblico del testo non è presentata nelle prime pagine, preferendo un'introduzione che poggi più sull'intuitivo che su dimostrazioni rigorose e belle (immagino che tu debba ancora incontrare gli spazi vettoriali, almeno al momento in cui avevi letto questa frase).
Se la cosa ti interessa (ed è stra-lecito), si più formalizzare così: considera una retta dello spazio euclideo \(E\) della geometria classica[nota]Quella di Hilbert.[/nota] e \(\mathbb{R}\) in quanto gruppo additivo. Presupponendo che tu abbia fissato sulla retta una relazione d'ordine e un'unità di misura, fai agire \(\mathbb{R}\) associando ad ogni coppia \((r,P)\in\mathbb{R}\times E\) il punto \(P'\in E\) tale che, se \(r>0\) (\(r<0\)), allora \(\bar{PP'}=r\) (\(=-r\)), altrimenti \(P=P'\) . L'azione è semplicemente transitiva, ergo, fissato un punto \(O\) da chiamarsi "origine", l'applicazione \[\mathbb{R}\ni r \mapsto \rho(O)(r)\in E\] è un isomorfismo di insiemi (cioè un'applicazione bigettiva) (\(\rho\) è ovviamente l'immagine dell'azione, che potrebbe essere ristretta a \(\{O\}\)).
L'ho scritto di fretta e male, e non so se ho risposto alla tua domanda: probabilmente c'è un modo per dimostrare quello che chiedi rimanendo nell'ambito dell'algebra lineare elementare, ma credo che siano i concetti di cui sopra che faranno al caso tuo, nel momento in cui deciderai di approfondirli. Guarda anche qui.
Uh grazie per gli spunti, gentilissimo !
!
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